Hamiltoniano dependiente del tiempo en la imagen de interacción

Question

Un giro $1/2$ la partícula está sometida a un campo magnético externo $$\mathbf{B}\left(t\right)=B\left(\mathbf{i}\cos{\omega t}-\mathbf{j}\sin{\omega t}\right) + B_0\mathbf{k} \; \left(B,B_0\in\mathbb{R^+}\right).$$ El ket del estado obedece a la ecuación $$i\hbar\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\left|\alpha,t\right\rangle=-\gamma\mathbf{S\cdot B}\left|\alpha,t\right\rangle, \; \left(\gamma\in\mathbb{R^+}\right)$$ con la condición inicial $$\left|\alpha,0\right\rangle=\left|\frac{1}{2}\frac{1}{2}\right\rangle\equiv\left|+\right\rangle$$ en el $\left\{\mathbf{S}^2,S_z\right\}$ base. Calcular $\left|\alpha,t\right\rangle$ .

Escribiendo el Hamiltoniano como $$H\left(t\right)=-\gamma\mathbf{S\cdot B}\equiv H_0 + V\left(t\right),$$ Intenté usar la imagen de la interacción, $$\left|\alpha,t\right\rangle_I\equiv e^{i H_0 t/\hbar}\left|\alpha,t\right\rangle.$$ Ahora el ket obedece a la ecuación diferencial $$i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left|\alpha,t\right\rangle_I=V_I\left(t\right)\left|\alpha,t\right\rangle_I,$$ con la condición inicial $$\left|\alpha,0\right\rangle_I =\left|\alpha,0\right\rangle=\left|+\right\rangle$$ y $$V_I\left(t\right)\equiv e^{iH_0 t/\hbar}V\left(t\right)e^{-iH_0 t/\hbar}.$$ Así que, como $$H_0\equiv -\gamma B_0 S_z=-\omega S_z, \;\; V\left(t\right)\equiv-\gamma B \left(S_x \cos{\omega t} - S_y \sin{\omega t}\right),$$ Tengo el sistema acoplado de ODEs $$i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left|\alpha,t\right\rangle_I=-\frac{\gamma B\hbar}{2}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\left|\alpha,t\right\rangle_I$$ for some ket of the form $$\left|\alpha,t\right\rangle_I=\begin{pmatrix}a\left(t\right)\\b\left(t\right)\end{pmatrix}.$$ Diferenciando de nuevo con respecto al tiempo, obtuve $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}a\left(t\right)+\omega_1^2 a\left(t\right)=0,$$ cuya solución, teniendo en cuenta la condición inicial, es $$a\left(t\right)=a_0 \cos{\omega t}.$$ Así que, $$b\left(t\right)=\frac{2i\omega a_0}{\gamma B}\sin{\omega t.}$$ Para tratar un ket de estado normalizado, hay que tener $$1=\left|a\left(t\right)\right|^2 + \left|b\left(t\right)\right|^2=\left|a_0\right|^2\left(\cos^2{\omega t}+\left(\frac{2\omega}{\gamma B}\right)^2\sin^2{\omega t}\right),$$ que, debido a $\omega=\gamma B_0$ , aporta las condiciones $$\left|a_0\right|^2=1, \;\; B=2 B_0.$$ Pero encuentro muy extraña la segunda condición. ¿Hay algún problema con mi idea o con mis cálculos?

Answer 1

Comprobando los cálculos (gracias a @secavara) he encontrado que la ecuación correcta es $$\ddot{a}\left(t\right) + \varpi^2 a\left(t\right)=0,\\ \varpi\equiv\frac{\omega_1}{\hbar}\equiv-\frac{\gamma B}{2},$$ cuya solución, teniendo en cuenta la condición inicial, viene dada por $$a\left(t\right)=c\cos{\varpi t}.$$ Diferenciando con respecto al tiempo, se obtiene inmediatamente $$b\left(t\right)=-ic\sin{\varpi t}.$$ La constante $c$ se puede elegir con la condición de normalización, es decir $$1=\left|a\left(t\right)\right|^2+\left|b\left(t\right)\right|^2=\left|c\right|^2.$$ Fijar el factor de fase para que $c=1$ Finalmente conseguí $$\left|\alpha,t\right\rangle_I=\begin{pmatrix} \cos{\varpi t}\\-i\sin{\varpi t}\end{pmatrix}.$$ Ahora es fácil volver a escribir el estado en la imagen de Schrödinger, porque $$\left|\alpha,t\right\rangle=e^{i\omega S_z t/\hbar}\left|\alpha,t\right\rangle_I= \begin{pmatrix}\cos{\varpi t}\,e^{i\omega t/2}\\-i\sin{\varpi t}\, e^{-i\omega t/2}\end{pmatrix}.$$