Los polinomios son irreducibles en $\mathbb{Z}[x]$ si son irreducibles en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ ¿Por qué p tiene que ser primo?

Question

La prueba dice que definimos la función módulo como el homomorfismo natural, $$ \bar\phi: \mathbb Z \to \mathbb Z / p\mathbb Z$$ Entonces, si $h \in \mathbb Z[x]$ es reducible, la identidad $$ \bar\phi(h) = \bar\phi(fg) = \bar\phi(f) \bar\phi(g) $$ prueba $h (\text{mod}\ p)$ también es reducible en $\mathbb Z_p$

Sin embargo, esta prueba no dice nada sobre $p$ siendo primo. Y considera $$ \bar\phi: \mathbb Z \to \mathbb Z / 4\mathbb Z $$ es también un homomorfismo, definido por $$ z \mapsto z + 4\mathbb Z$$

Answer 1

La cuestión de la reducibilidad en $R[X]$ es más complicado cuando $R$ no es un campo, por lo que solemos limitar nuestra atención a los campos.

Por ejemplo, $5x+1=(2x+1)(3x+1)$ es reducible en $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ . Cuando $p$ no es primo, la reducibilidad es demasiado común para ser interesante.