Dejemos que $F$ sea un Campo con $\mathrm{char}(F) > 0$ . $E_1$ y $E_2$ son extensiones finitas de $F$ del mismo grado. Demostrar que $E_1$ y $E_2$ puede no ser isomorfo. En Campos de característica cero, obtengo el contraejemplo obvio, a saber $\mathbf{Q}(\sqrt2)$ y $\mathbf{Q}(\sqrt3)$ . En campos finitos (perfectos), el resultado es cierto. Pero soy incapaz de conseguir un contraejemplo para un Campo infinito de característica primera. ¡Necesito que alguien me ayude, por favor!
Respuesta
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Edición: ¡perdón por haber leído mal la pregunta! Por ejemplo, tome $\mathbf{F}_{p^2}((t))/\mathbf{F}_p((t))$ y $\mathbf{F}_p((t^{1/2}))/\mathbf{F}_p((t))$ . Ambas son extensiones de grado 2, pero no son isomorfas: en particular la segunda es isomorfa a $\mathbf{F}_p((t))$ que no es isomorfo a $\mathbf{F}_{p^2}((t))$ .
Demostremos que son extensiones de grado 2. Nota: $\mathbf{F}_{p^2}/\mathbf{F}_p$ es un grado $2$ extensión, dada por la unión de una raíz de un polinomio irreducible $f(x) \in \mathbf{F}_p[x]$ de grado $2$ en $\mathbf{F}_p$ (por ejemplo, si $p$ es impar, toma $x^2 - r$ , donde $r \in \mathbf{F}_p$ no es un residuo cuadrático mod $p$ ). Entonces la extensión $\mathbf{F}_{p^2}((t))/\mathbf{F}_p((t))$ viene dada, de nuevo, por la unión de una raíz de $f(x)$ esta vez visto como un polinomio en $\mathbf{F}_p((t))[x]$ : observe que sigue siendo irreducible en este anillo, y por lo tanto la extensión es de grado $2$ . Por otro lado, se podría adjuntar una raíz del polinomio $x^2 - t \in \mathbf{F}_p((t))[x]$ y luego se obtiene la extensión $\mathbf{F}_p((t^{1/2}))$ : esto es de nuevo de grado $2$ ya que el polinomio tiene grado $2$ .
De forma más general, esto ilustra la distinción entre extensiones ramificadas y no ramificadas de campos locales de igual característica.
También puede hacerlo a partir de $\mathbf{F}_p(t)$ el campo de las funciones racionales en una variable sobre $\mathbf{F}_p$ en lugar de $\mathbf{F}_p((t))$ el campo de las series de Laurent en una variable sobre $\mathbf{F}_p$ No cambiaría nada de lo anterior, y se podrían poner más ejemplos. Sólo elegí las series de Laurent porque la teoría de extensiones de campos finitos de un campo local es un poco más simple al final.
