Superficies rellenadas densamente por una geodésica

Question

Qué superficies lisas y cerradas $S \subset \mathbb{R}^3$ no tienen una sola geodésica $\gamma$ que llena $S$ ¿densamente?

Digamos que una geodésica $\gamma$ "Llenos $S$ densamente" si el cierre del conjunto de puntos a través del cual $\gamma$ pasa igual a $S$ . Algunos ejemplos:

• Una esfera: toda geodésica es un gran círculo.

• Superficies Zoll, como se discute aquí: " Superficies cuyas geodésicas son cerradas y simples ."

• Un elipsoide.
  
  (Imagen de GeographicLib .)

• Un toro generalmente tiene muchas geodésicas que llenan la superficie.
  
  ( Imagen de John Oprea )

Mi suposición es que casi todas las superficies tienen geodésicas que las llenan. ¿Se sabe esto, bajo cualquier interpretación de "casi todas"? También me interesaría ampliar la lista de superficies excepcionales más allá de {esfera, Zoll, elipsoide}. Gracias por los consejos.

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Resumen de respuestas ( 18Abr2013 ):

• (Robert Bryant, Mikhail Katz) Cualquier superficie de revolución con polos no tiene ninguna geodésica densa. Esto es válido para superficies de revolución convexas o no convexas.
• (Robert Bryant) Hay generalizaciones de superficies de Liouville (debidas a Goryachev-Chaplygin y a Dullin-Matveev) que no tienen geodésicas densas.
• (Misha Kapovich) Toda superficie puede ser perturbada pegando "tapas de enfoque" para que tenga geodésicas densas.
• (Keith Burns) Adivina: Siempre hay una geodésica densa en una superficie riemanniana cerrada de género $\ge 2$ .

Answer 1

1. Cualquier superficie de revolución en $3$ -espacio con polos tendrá esta propiedad. La razón es que, en este caso, cualquier geodésica o bien pasa por un polo (es decir, un punto en el que el eje de revolución se encuentra con la superficie) y es una curva de perfil que se encuentra en un plano o bien, debido a la integral de Clairaut, evita ese polo por alguna distancia positiva. Por tanto, ninguna geodésica de la superficie es densa en la superficie.

2. Usted menciona los elipsoides, que proporcionan ejemplos de estas superficies especiales. Son ejemplos de las llamadas "superficies de Liouville", es decir, superficies riemannianas $(S,g)$ para el que existen dos integrales primeras independientes del flujo geodésico en $T^\ast S$ que son funciones cuadráticas en las fibras de $T^\ast S\to S$ uno de los cuales es la co-métrica asociada a $g$ y la otra es una primera integral independiente. Como probablemente sabes, las superficies de revolución son superficies para las que existe una primera integral del flujo geodésico que es lineal en las fibras de $T^\ast S\to S$ , es decir, la integral de Clairaut. Se sabe desde hace tiempo que hay métricas en la $2$ -que no poseen ninguna primera integral "extra" que sea una función lineal o cuadrática en las fibras de $T^\ast S\to S$ pero sí poseen primeras integrales que son funciones cúbicas o cuátricas en las fibras de $T^\ast S\to S$ . Se deben a Goryachev-Chaplygin (principios del siglo XX) y a Dullin-Matveev (2004). También se trata de ejemplos para los que ninguna geodésica vuela densamente sobre la superficie. Todos ellos funcionan porque existen "leyes de conservación" para el flujo geodésico de un tipo particular, y generalizan adecuadamente las superficies de Liouville (que incluye el famoso caso de los elipsoides).

Answer 2

Donnay y Pugh demostraron que toda superficie incrustada $S\subset R^3$ puede ser $C^0$ -Perturbada para que la nueva métrica tenga un flujo geodésico ergódico, véase aquí . En particular, la nueva métrica tendrá geodésicas densas (además, las geodésicas "genéricas" serán densas en el haz tangente unitario).

Answer 3

La relación de Clairaut muestra que cualquier superficie de revolución simplemente conectada tiene esta propiedad, sea convexa o no (por la razón expuesta por Robert).

Answer 4

Un billar sin órbitas densas como en la pregunta órbitas densas en el billar puede ser el límite "aplanado" (doblemente cubierto) de dichas superficies.

[Edición en respuesta a Misha:] Ejemplos de billares sin órbitas densas: Billares de círculos o elipses que son límites de elipsoides. La solución de Penrose al problema de la iluminación: ver

N. Chernov y G. Galperin "Búsqueda de luz en mesas de billar" Dinámica regular y caótica 8 , 225-241 (2003).

Answer 5

Siento que hay alguna idea implícita aquí pero nadie la ha formulado, así que déjame intentarlo:

una superficie lisa y cerrada no tiene ninguna geodésica de relleno si y sólo si su flujo geodésico es integrable

¿Qué opina de esta conjetura? A mí me parece probable ya que los flujos integrables tienen sus toros de Arnold que no llenan todo el espacio: por ejemplo, para el elipsoide, la imagen del espacio que llena una geodésica es una proyección de un toro de Arnold (un anillo).

Todos los ejemplos citados anteriormente son integrables, y Burns guess está bien porque las superficies de gran género no pueden tener un flujo integrable (teorema de Kozlov, si no me equivoco...)

Estoy muy entusiasmado con esta conjetura.