¿Es cada $\sigma$ -generada por una función de Borel?

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto y $\mathcal{F}$ a $\sigma$ -Álgebra. ¿Existe un espacio topológico $U$ y un mapa $f:X \to U$ tal que $f$ es ( $\mathcal{F}, \mathcal{B}$ )-medible y $\sigma(f) = \mathcal{F}$ ? Aquí $\mathcal{B}$ es el Borel $\sigma$ -de la álgebra de $U$ .

Por supuesto, esto es trivial si cada $\sigma$ -en un conjunto es la álgebra de Borel $\sigma$ -con respecto a alguna topología del conjunto. Pero esto no tiene por qué ser cierto . Este es un problema más débil.

Answer 1

Si $\tau$ es una topología sobre un conjunto $U$ y $f:X\rightarrow U$ es una función, entonces $$Op(f):=\{f^{-1}(A):A\in\tau\}$$ es una topología en $X$ (ya que las preimágenes, a diferencia de las imágenes, conmutan con las intersecciones y las uniones). Ya que según los comentarios anteriores $\sigma(f)$ se define como el $\sigma$ -álgebra en $X$ generado por $Op(f)$ esto significa que $\mathcal{F}=\sigma(f)$ para algunos $f$ sólo si $\mathcal{F}$ es generada por una topología en $X$ . Así que esta pregunta se reduce efectivamente a la pregunta original, que tiene una respuesta negativa.