La desigualdad compleja AGM establece que si $z_k, k=1,..,n$ son números complejos (no nulos) para los que la dispersión del argumento es como máximo $2\psi, \psi <\pi/2$ o, en otras palabras, elegir el argumento principal en $(-\pi, \pi]$ o $[0, 2\pi)$ pero tener una opción fija para todos $z_k$ tenemos $|\arg(z_k)-\arg (z_l)| \le 2\psi <\pi$ ,
entonces $(|z_1..z_n|)^{1/n}\cos \psi \leq |\frac{z_1+..z_n}{n}|$
y la prueba se desprende de la desigualdad AGM habitual para números positivos, observando que mediante una rotación que no cambia ni el LHS, ni el RHS (por lo que envía el argumento más bajo de la $z_k$ tomada en $(-\pi, \pi]$ decir a $-\psi$ entonces todos los demás son como máximo $\psi$ por la hipótesis de la dispersión), podemos suponer que los argumentos están todos en $[-\psi, \psi]$ así que $\Re z_k \geq |z_k|\cos \psi >0$ por lo tanto:
$(|z_1..z_n|)^{1/n}\cos \psi \leq (\Re (z_1)..\Re (z_n))^{1/n} \leq \frac{\Re z_1+..\Re z_n} {n} = \frac{\Re (z_1+..z_n)}{n} \le |\frac{z_1+..z_n}{n}|$ (nótese que si dejamos que $\psi=\pi/2$ todavía podemos aplicar el argumento anterior, pero la desigualdad es vacía)
Aplique esto aquí con $z_k=1/(z-r_k)$ observando que la hipótesis muestra que los argumentos de $z-r_k$ por lo tanto, de $z_k$ se han extendido como máximo $2\psi(z)$ para algunos $\psi(z) < \pi/2$ - considerando $w_k=z-r_k$ sus argumentos están contenidos en el ángulo trazado por definición, por lo que su diferencia es como máximo $2\psi$ como dice la imagen (el ángulo en la desigualdad de Wilf depende de $z$ por supuesto y puede acercarse mucho a $\pi/2$ si $z$ se acerca mucho a un lado del polígono) y obtener el límite en la línea anterior (14.54).
Pero ahora como por sustitución el LHS es $|a_n/P(z)|^{1/n}\cos \psi$ como $P(z)=a_n(z-r_1)..(z-r_n)$ y el RHS es $|\frac{P'(z)}{nP(z)}|$ mediante la fórmula habitual de $(P'/P)(z)$ como la suma de los recíprocos de $1/(z-r_k)$ (14.54) se obtiene reescribiendo y desplazando la $\cos \psi$ en el denominador de RHS
