Funciones de las variables aleatorias independientes

Question

¿Es cierta la afirmación de que las funciones de variables aleatorias independientes son a su vez independientes?

He visto que ese resultado se utiliza a menudo de forma implícita en algunas pruebas, por ejemplo en la prueba de la independencia entre la media muestral y la varianza muestral de una distribución normal, pero no he podido encontrar una justificación para ello. Parece que algunos autores lo dan por supuesto, pero no estoy seguro de que sea siempre así.

Answer 1

Le site definición más general y abstracta de la independencia hace que esta afirmación sea trivial, a la vez que proporciona una importante condición calificativa: que dos variables aleatorias sean independientes significa que las álgebras sigma que generan son independientes. Como la sigma-álgebra generada por una medible de una sigma-álgebra es una subálgebra, a fortiori cualquier función medible de esas variables aleatorias tiene álgebras independientes, por lo que esas funciones son independientes.

(Cuando una función no es medible, normalmente no crea una nueva variable aleatoria, por lo que el concepto de independiente ni siquiera se aplicaría).

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Desenvolvamos las definiciones para ver lo sencillo que es esto. Recordemos que una variable aleatoria $X$ es una función de valor real definida en el "espacio muestral" $\Omega$ (el conjunto de resultados que se estudian a través de la probabilidad).

1. Una variable aleatoria $X$ se estudia mediante las probabilidades de que su valor se encuentre dentro de varios intervalos de números reales (o, más generalmente, conjuntos construidos de forma sencilla a partir de intervalos: son los conjuntos medibles de Borel de los números reales).

2. Correspondiente a cualquier conjunto medible de Borel $I$ es el evento $X^{*}(I)$ consistente en todos los resultados $\omega$ para lo cual $X(\omega)$ se encuentra en $I$ .

3. La sigma-álgebra generada por $X$ está determinada por la colección de todos esos eventos.

4. La definición ingenua dice que dos variables aleatorias $X$ y $Y$ son independiente "cuando sus probabilidades se multiplican". Es decir, cuando $I$ es un conjunto medible de Borel y $J$ es otro, entonces

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Pero en el lenguaje de los eventos (y de las álgebras sigma) eso es lo mismo que

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Consideremos ahora dos funciones $f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ y supongamos que $f \circ X$ y $g\circ Y$ son variables aleatorias. (El círculo es la composición funcional: $(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$ . Esto es lo que significa para $f$ para ser una "función de una variable aleatoria"). Obsérvese - esto es sólo teoría elemental de conjuntos - que

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

En otras palabras, cada evento generado por $f\circ X$ (que está a la izquierda) es automáticamente un evento generado por $X$ (como muestra la forma del lado derecho). Por lo tanto (5) automáticamente se mantiene para $f\circ X$ y $g\circ Y$ No hay nada que comprobar.

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NB Puede sustituir "de valor real" en todas partes por "con valores en $\mathbb{R}^d$ " sin necesidad de cambiar nada más de forma material. Esto cubre el caso de las variables aleatorias vectoriales.

Answer 2

Considere esta prueba "menos avanzada":

Dejemos que $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$ , donde $X,Y$ son variables aleatorias independientes y $f,g$ son funciones medibles. Entonces: $$ P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}). $$ Utilizando la independencia de $X$ y $Y$ , $$ P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}. $$

La idea es notar que el conjunto $$ \{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}, $$ por lo que las propiedades que son válidas para $X$ se amplían a $f(X)$ y lo mismo ocurre con $Y$ .

Answer 3

Sí, $g(X)$ y $h(Y)$ son independientes para cualquier función $g$ y $h$ siempre y cuando $X$ y $Y$ son independientes. Es un resultado muy conocido, que se estudia en los cursos de teoría de la probabilidad. Seguro que lo puedes encontrar en cualquier texto estándar como el de Billingsley.

Answer 4

No como una alternativa, sino como una adición a las brillantes respuestas anteriores, observe que este resultado es de hecho muy intuitivo.

Normalmente, pensamos que $X$ y $Y$ ser independiente significa que conocer el valor de $X$ no da ninguna información sobre el valor de $Y$ y viceversa. Esta interpretación implica, obviamente, que no se puede "exprimir" de algún modo una información aplicando una función (o por cualquier otro medio en realidad).