Presentaciones de dos generadores y un relator del grupo libre

Question

Supongamos que tengo un grupo finitamente presentado $G$ con dos generadores $x$ y $y$ con un relator $r$ . Y supongamos que el relator es una palabra cíclicamente reducida (en $x$ y $y$ ), es decir, cada permutación cíclica de la palabra se reduce.

Si $G$ resulta ser un grupo libre, entonces el relator debe tener una longitud máxima de dos, en el sentido de que $r=x^a y^b$ (o $y^b x^a$ ) con $a,b \in \mathbb{Z}$ ?

Answer 1

No.

A palabra primitiva en un grupo libre $F$ es una palabra que forma parte de una base libre para $F$ . Cualquier palabra primitiva $r$ como funciona su relator (que se puede ver a través de las transformaciones de Tietze), y estos tienen una longitud arbitraria. (Esto es, de hecho, una condición "si y sólo si", pero no se me ocurre una prueba fácil para el sentido contrario).

Por ejemplo, $(ab)^nb$ es primitivo en $F(a,b)$ para cualquier $n$ , como $\{ab, (ab)^nb\}$ es una base libre, por lo que $\langle a,b\mid (ab)^nb\rangle$ es gratuito para cualquier $n$ .

(Obsérvese que si un grupo de dos generadores y un relator $G$ es libre entonces es libre de rango uno, es decir, infinitamente cíclico, como $G$ se proyecta necesariamente sobre el grupo cíclico infinito, por lo que no es libre de rango cero, mientras que el grupo libre de rango dos es hopfiano por lo que $G$ no puede estar libre de rango $\geq2$ .)