Dejemos que $G$ sea un grupo y $A\subseteq G$ . Mostrando $\{g\in G: gag^{-1}\in A \text{ for all } a\in A\}$ no tiene que ser un subgrupo de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $A\subseteq G$ . Considere $H=\{g\in G: gag^{-1}\in A \text{ for all } a\in A\}$ . Quiero demostrar que eso $H$ no tiene que ser un subgrupo de $G$ . (Obsérvese que para un $G$ siempre es un subgrupo porque basta con demostrar el cierre, que es verdadero en este caso).

El material que estoy utilizando da el siguiente contraejemplo, veo por qué es un contraejemplo pero me gustaría entender intuitivamente cómo se puede llegar a este resultado.

Dejemos que $G$ sea el conjunto de todas las permutaciones sobre $\mathbb{Z}$ y definir $S_f=\{n\in\mathbb{Z}:f(n)\neq n\}$ para $f\in G$ . Establecer $A=\{f\in G: S_f\subseteq \mathbb{N}_{>0}\}$ . Considere $g\in G$ con $g(n)=n+1$ para todos $n$ . Es fácil comprobar que $g\in H$ . Para llegar a un contraejemplo, mostramos ahora que $g^{-1}\notin H$ . Sea $a\in G$ con $a(1)=2$ , $a(2)=1$ y $a(n)=n$ para $n\neq 1,2$ para que $a\in A$ . Entonces $g^{-1}ag(0)=g^{-1}a(1)=g^{-1}(2)=1$ . Esto demuestra que $0\in S_{g^{-1}ag}$ y por lo tanto $g^{-1}ag\notin A$ para que $g^{-1}\notin H$ .

Answer 1

Como ha señalado, $H$ es siempre unter multiplicación cerrada, por lo que $H \subseteq G$ es un submonoide. La única manera de $H$ para no ser un subgrupo es que no contenga un inverso para uno de sus elementos.

Así, para encontrar un contraejemplo tenemos que asegurarnos de que ningún argumento de la forma $$gAg^{-1} \subseteq A \implies g^{-1}Ag \subseteq A$$ se mantiene. Como ya ha dicho, este argumento es válido si $A$ es finito, por lo que $A$ no puede ser finito.

Piensa en los elementos de $G$ como se mueve de $A$ como propiedad y de elementos de $A$ como se mueve con esa propiedad. Por lo tanto, necesitamos una propiedad de los movimientos que se conserve cuando se mueve primero en un sentido de antemano y luego en el sentido contrario, pero que no se conserve al revés, cuando se mueve primero en el sentido contrario de antemano y luego en el sentido original.

El conjunto infinito más sencillo sería $\Bbb Z$ los movimientos más sencillos en $\Bbb Z$ serían saltos a la izquierda o a la derecha, pero en general cualquier permutación de $\Bbb Z$ . Y las "formas" más sencillas de moverse serían, bueno, a la izquierda y a la derecha . La propiedad más sencilla de una mudanza sería arreglar las cosas.

Así que la pregunta es:

Que sigue adelante $\Bbb Z$ arreglar algunas cosas, incluso cuando se va primero a la izquierda y luego a la derecha, pero no cuando se va primero a la derecha y luego a la izquierda?

Bueno, si un movimiento arregla alguna mitad izquierda de $\Bbb Z$ Pero cuando me muevo primero a la derecha, ya no hay garantía.

Entonces, así es como se podría llegar al contraejemplo. . .

Tenga en cuenta que la forma $A$ se define en el texto es un poco enrevesado. Una definición más sencilla podría ser $$A = \{f \in G;~f(n) = n\quad\forall n \le 0\}.$$