Intersección de planos 2D en el espacio 4D

Question

Si tuviera un espacio de cuatro dimensiones, en el que incrustara dos planos, ¿qué posibles intersecciones podrían tener?

Construir un plano

Para dar más contexto a esto, considere lo siguiente. Si tuviera una tupla 4d (w, x, y, z) sin ninguna restricción, puede asumir cualquier posición en el espacio 4D.

Al imponer una restricción, y luego otra, podemos reducir los grados de libertad en dos, de tal manera que termino con un plano 2D en el espacio 4D, podemos escribir este par de restricciones en forma de matriz como:

$$ \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 \\ q_1 & q_2 & q_3 & q_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} $$

Ahora bien, si esto forma un plano, entonces el rango de la matriz debe ser bidimensional, ya que sólo habrá dos vectores columna linealmente independientes. Creo que esta es una condición para que el plano sea bidimensional.

Planos de intersección

Ahora me gustaría considerar el resultado cuando interseco ese plano con el plano representado por:

$$ \begin{bmatrix} r_1 & r_2 & r_3 & r_4 \\ s_1 & s_2 & s_3 & s_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} $$

Ya he establecido que esto mostrará un comportamiento extraño. Por ejemplo, si tomamos el plano xy y los planos wz y los intersecamos, sólo hay una solución (el vector cero), lo que indica que se intersecan en un plano.

Obtener información

Si construimos esta matriz final, ¿qué restricciones podemos aplicar sabiendo que la matriz original tenía un rango de 2?

$$ \begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & p_4 \\ q_1 & q_2 & q_3 & q_4 \\r_1 & r_2 & r_3 & r_4 \\ s_1 & s_2 & s_3 & s_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\x \\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\ c_3 \\ c_4 \end{bmatrix} $$

Answer 1

Dejemos que $\mathbf{n}, \mathbf{m}$ sean dos vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^4$ . Un plano $P$ viene dada por $$\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)= \mathbf{m}\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0 $$ y el segundo plano $P'$ viene dada por $$\mathbf{n}'\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0')= \mathbf{m}'\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0')=0 $$ nota que $\mathbf{r}_0$ y $\mathbf{r}'_0$ puede cambiarse a cualquier otro punto del plano y las ecuaciones siguen describiendo el mismo plano. Por lo tanto, si la intersección no es vacía, podemos tomar $\mathbf{r}_0=\mathbf{r}_0'$ . Entonces sólo tenemos que encontrar las soluciones a $$ A\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0):= \begin{pmatrix} \mathbf{n}\\ \mathbf{m}\\ \mathbf{n}'\\ \mathbf{m}' \end{pmatrix} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0 $$ Obsérvese que, sin pérdida de generalidad, podemos elegir $\mathbf{n}', \mathbf{m}'$ para no mentir en $V=\mathrm{span}(\mathbf{n},\mathbf{m})$ o sólo uno de ellos yace allí o ambos.

Ahora bien, si $\mathbf{n}', \mathbf{m}'$ no se encuentran en el subespacio abarcado por $\mathbf{n},\mathbf{m}$ entonces esta matriz es invertible, lo que significa que la intersección es $\mathbf{r}_0$ (a punto ).

Si uno de $\mathbf{n}',\mathbf{m}'$ se encuentra en el tramo de $\mathbf{n},\mathbf{m}$ entonces el núcleo de esta transformación lineal es unidimensional y la intersección se convierte en línea .

Si ambos $\mathbf{n}', \mathbf{m}'$ mienten en $V$ ya que también comparten un punto común $\mathbf{r}_0$ por supuesto, entonces los dos planos coinciden. Debe excluir esta posibilidad si sus planos originales son distintos.

Por último, tenemos que entender cuándo la intersección está vacía (antes hemos supuesto que no está vacía). Esto sólo ocurre si los planos son paralelos. Si no son paralelos, el rango de $A$ es al menos 3. Puedes investigar que $$ A\mathbf{r} = \begin{pmatrix}\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}_0\\ \mathbf{m}\cdot \mathbf{r}_0 \\ \mathbf{n}'\cdot \mathbf{r}'_0\\ \mathbf{m}'\cdot \mathbf{r}'_0\end{pmatrix} $$ tiene solución si el rango $A$ es al menos 3. Así que debemos tener el rango $A$ como máximo 2. Pero entonces $A$ proviene de las ecuaciones de $P,P'$ por lo que tiene un rango de al menos dos. Esto significa que el rango $A$ es necesariamente $2$ y, por tanto, los planos son paralelos.

Answer 2

Le responderé con lo que creo que es una solución más intuitiva.

Todas las opciones posibles para dos aviones en R4:

Pondré ejemplos donde A y B (y C) son planos en R4 (x, y, z, t).

1. No paralelos, sin intersección

Imagina dos planos no paralelos en 3D, que obviamente se cruzan, y ahora fija la 4ª dimensión de forma diferente para cada uno de ellos. Ahora ya no se cruzan.

Esto es similar a lo que ocurre con las líneas no paralelas que no se cruzan en 3D.

Ejemplo:

A: {x=0; t=0}; B: {y=0; t=1}; C: {z=0; t=-1};

B y C están a una distancia 1 de A, y de 2 entre ellos, pero ninguno es paralelo.

2. En paralelo

Al igual que en 3D. Desplaza el plano A por cualquier vector y obtendrás un plano paralelo B. Como curiosidad, ahora puedes desplazar en dos dimensiones.

Ejemplo:

A: {x=0; t=0}; B: {x=0; t=1}; C: {x=1; t=0};

Tanto B como C son paralelas a A (y a sí mismas también), y ambas están a una distancia de 1 de A, y de sqrt(2) entre ellas.

3. Intersección en un punto

Este sería el caso genérico de una intersección entre dos planos en 4D (y en cualquier D superior, en realidad).

Ejemplo:

A: {z=0; t=0}; B: {x=0; y=0};

Puedes pensar en este ejemplo como:

R: un plano que existe en un único instante de tiempo.

B: una línea que existe todo el tiempo.

Ahora puedes visualizar la intersección en tu cabeza, y debería ser obvio que se cruzan en un único punto: (0, 0, 0, 0).

4. Intersección en una línea

Este es un caso especial de intersección, en el que los planos se cruzan en una línea, pero siguen siendo planos diferentes.

Ejemplo:

A: {x=0; t=0}; B: {y=0; t=0};

Este ejemplo es sólo una intersección de planos en 3D, fijando la 4ª D como 0.

5. Coincidente

Dos planos pueden ser iguales, como en 3D.

Ejemplo:

A: {x=0; t=0}; B: {x=0; t=0};