Ejemplos de grupos de Lie

Question

Estoy buscando aplicaciones interesantes de los grupos de Lie para un curso de postgrado de introducción a los grupos de Lie. En particular, me gustaría conocer ejemplos no estándar que a primera vista no parezcan estar relacionados con los grupos de Lie (así que, por favor, no sugieran cosas conocidas como las álgebras de Clifford o la trialidad que aparecen en los textos estándar sobre grupos de Lie, como Fulton y Harris). Aquí hay algunos ejemplos del tipo de cosas que estoy buscando:

*La cohomología de una variedad compacta de Kaehler es una representación de SL2, por lo que la variedad de Hopf no puede ser de Kaehler.

*Los coeficientes de los binomios q son unimodales, ya que son caracteres de representaciones de SL2

*El teorema de Hilbert sobre la generación finita de anillos de invariantes puede demostrarse utilizando la integración de invariantes en grupos de Lie compactos.

*Las formas modulares holomórficas son en realidad vectores de mayor peso de representaciones de series discretas de ciertos grupos de Lie.

*La mayoría de los 3-manifolds cerrados son cocientes de SL2(C) por subgrupos discretos.

*Las funciones de Bessel no se pueden expresar mediante funciones elementales e integración indefinida. (La teoría diferencial de Galois fue una de las motivaciones originales de Lie, pero parece haber sido eliminada de los textos sobre la teoría de Lie).

*La clasificación de las variedades hasta el cobordismo utiliza grupos ortogonales.

Answer 1

He aquí tres ejemplos.

1. Una extensión de campo finito de $\mathbb R$ debe ser cuadrática. Ya que si $\mathbb R^n$ lleva la estructura de un campo, entonces su grupo de unidades $\mathbb R^n - \{0\}$ es un grupo abeliano de Lie. Pero $\mathbb R^n - \{0\}$ es simplemente conectado si $n>2$ lo que significa que $\exp$ nos da un isomorfismo de grupos $\mathbb R^n - \{0\} \cong \text{Lie}(\mathbb R^n - \{0\}) = \mathbb R^n$ Lo cual es absurdo.

2. La estructura compleja en el grassmanniano complejo $Gr(d,\mathbb C^n)$ es localmente rígido . A grandes rasgos, esto significa que si tienes una familia que varía suavemente $X_t$ de las variedades complejas, donde el índice $t$ toma valores en un subconjunto conectado abierto de $\mathbb{C}^N$ que contiene $0$ y si $X_0 = Gr(d,\mathbb C^n)$ , entonces se puede encontrar una vecindad $U$ de $0$ tal que $X_t$ es isomorfo a $X_0$ como colector complejo para todo $t \in U$ . Un teorema de Frölicher y Nijenhuis afirma que la estructura compleja de una variedad compleja compacta $X$ es localmente rígido si $H^1(X,T_X)=0$ , donde $T_X$ es el haz tangente holomorfo de $X$ . Utilizando la teoría de la representación, Bott demostró que $H^q(X,T_X)=0$ para todos $q\geq1$ si $X=G/P$ para $G$ un grupo de Lie complejo semisimple y $P$ un subgrupo parabólico, es decir, si $X$ es una "variedad bandera generalizada". Esto establece la rigidez local de la estructura compleja de las variedades bandera generalizadas, como $Gr(d,\mathbb C^n)$ .

3. Es fácil creer que la combinatoria de las particiones de enteros y los diagramas de Young está relacionada con la teoría de la representación del grupo simétrico $S_n$ (sobre $\mathbb C$ , digamos). La dualidad Schur--Weyl relaciona esta última con la teoría de la representación de $GL_m(\mathbb C)$ . Esto, a su vez, puede relacionarse con la geometría de las variedades bandera de $GL_m(\mathbb C)$ . Con estas observaciones se puede, por ejemplo, relacionar la combinatoria de los diagramas de Young con la multiplicación en el anillo de cohomología del grassmanniano, que por supuesto lleva algún tipo de información geométrica. En mi opinión, esto es bastante notable.

Answer 2

La identidad de la suma

$$\frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \left( 2 \cos \frac{2 \pi i}{k} \right)^{2n} = {2n \choose n}$$

(donde $k > 2n$ ) puede explicarse combinatoriamente como sigue: la matriz de adyacencia $A_k$ del gráfico del ciclo de tamaño $k$ tiene valores propios $2 \cos \frac{2 \pi i}{k}, 0 \le i \le k-1$ y la suma de los $2n^{th}$ potencias de los valores propios de la matriz de adyacencia es el número total de paseos cerrados de longitud $2n$ en el gráfico. Para $k > 2n$ esto se ve fácilmente que es $k {2n \choose n}$ (donde el coeficiente de $k$ proviene de la elección del vértice inicial), y dividiendo por $k$ obtenemos la identidad anterior.

Dejar $k \to \infty$ lo anterior se convierte en una suma de Riemann y obtenemos la identidad integral

$$\int_0^1 (2 \cos 2 \pi x)^{2n} \, dx = {2n \choose n}$$

que es bastante sencillo de demostrar, pero no tan sencillo de interpretar directamente, ya que no es obvio que el argumento anterior sobre las matrices de adyacencia se generalice.

Esta identidad puede explicarse combinatoriamente utilizando la teoría de la representación del grupo del círculo $\text{SO}(2)$ . Asociado a (digamos) cualquier grupo de Lie compacto $G$ y la representación $V$ de $G$ hay un gráfico $\Gamma_G(V)$ El gráfico principal cuyos vértices son las representaciones irreducibles de $G$ y donde el número de aristas de una representación $A$ a una representación $B$ es $\dim \text{Hom}_G(A \otimes V, B)$ .

El gráfico principal de la representación estándar de $\text{SO}(2)$ es precisamente el grafo de Cayley de $\mathbb{Z}$ con generadores $\pm 1$ que se puede considerar como el "límite" de los gráficos de los ciclos anteriores (los gráficos de Cayley de los grupos cíclicos finitos, y no infinitos) en algún sentido apropiado. Se deduce que el número de paseos cerrados desde el origen hasta sí mismo en $\mathbb{Z}$ de longitud $2n$ es, por un lado, claramente ${2n \choose n}$ y, por otro lado, es $\dim \text{Hom}_G(V^{\otimes n}, 1)$ o la dimensión del subespacio invariante de $V^{\otimes n}$ y esta cantidad puede ser calculada por la teoría de caracteres de una manera que generaliza exactamente el cálculo del valor propio anterior.

El gráfico principal de la representación estándar de $\text{SU}(2)$ es similar, pero es infinito en una dirección en lugar de dos. Esto da una identidad integral correspondiente para los números catalanes, y para obtener la versión de la suma de Riemann de esta identidad integral hay que pasar a la teoría de la representación de grupos cuánticos en las raíces de la unidad como aprendí en la pregunta vinculada de MO.

Answer 3

Dejemos que $C$ sea una extensión de campo de dimensión finita de los números reales, entonces $(C \setminus 0)/{\mathbb R}_+$

es un grupo abeliano compacto de Lie, y una esfera de dimensión $\dim_{\mathbb R} C - 1$ . Si $C \neq {\mathbb R}$ para que este grupo esté conectado, entonces es un $K(\pi,1)$ (demostrado con el mapa exponencial, que es un homomorfismo de grupo suryectivo). En particular, no puede ser una esfera de dimensión $\geq 2$ Así que $\dim C = 2$ .

(¿Alguien sabe a quién se debe esta prueba? Creo haber oído a Mazur o a Gross, pero no estoy seguro).

Answer 4

¿Qué podría ser un ejemplo más bonito que Invariantes de Milnor ? A primera vista, estos invariantes de "enlace superior" parecen no tener nada que ver con los grupos de Lie; incluso se pueden definir utilizando Habiro se mueve para hacer aún más misteriosa cualquier conexión con las álgebras de Lie. O bien, se puede hablar de la Rompecabezas Baguenaudier cuya solución implica movimientos de Habiro disfrazados, como discutido por Przytycki y Sikora .
Y sin embargo, el hogar natural de las invariantes de Milnor es el grupo $D(H)$ que es el núcleo del mapa de corchetes de la izquierda $L(H)\otimes H \to L(H)$ , donde $L(H)$ denota el álgebra de Lie libre sobre $H$ la primera homología del complemento de enlace.
El grupo $D(H)$ también aparece en otros contextos que a primera vista no parecen tener nada que ver con las álgebras de Lie libres. Está relacionado con la homología racional de los grupos de automorfismo exteriores de grupos libres, como observó por primera vez Kontsevich. Morita, y Conant-Vogtmann, tomaron esta idea y la llevaron a cabo. El grupo $D(H)$ también fue utilizado por Dennis Johnson para estudiar la filtración del peso relativo del grupo de clases cartográficas de una superficie.

Answer 5

La teoría de sistemas integrables podría ser un ejemplo, sin embargo los ejemplos que puedo proponer requieren cierto nivel de tecnicidad (que probablemente no se desea)...

La línea de aplicación es la siguiente

Preguntas (aparentemente no relacionadas con los grupos de Lie): Considere el operador diferencial - $H = \sum \partial_i^2 + \sum exp(x_i - x_{i+1} ) $

Qeust 1: ¿Puedes encontrar algunos operadores diferenciales que conmuten con H? Pregunta 2: ¿Puedes encontrar vectores propios para H?

(Esto se llama sistema cuántico Toda, Calogero y algunos otros pueden ser considerados también)

Los grupos de mentiras entran en el juego así:

La idea principal es que este operador diferencial proviene del Casimir de gl_n, por lo que los Casimires superiores (es decir, Z(U(gl_n)) proporcionarán los operadores comprometedores. Lo que tenemos que hacer para obtener este operador de Casimir estándar - es hacer alguna reducción (integración) sobre algún subgrupo. Las eigenfucniones se pueden obtener por integración de algunos caracteres de las representaciones, que viene del hecho de que Casimirs actúa por escalares sobre cualquier irreps...

El ejemplo de sl(2) es sencillo técnicamente y para mí fue bastante bonito, cuando me lo explicaron... En el caso de sl(2) obtenemos funciones de Bessel como funciones propias, algunas propiedades como las fórmulas recurrentes para diferentes "n" en Bessel se pueden derivar de la descomposición tensorial de las representaciones correspondientes...

Si es necesario, puedo proporcionar referencias...

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Se trata de sistemas "integrables cuánticamente", algo similar se puede hacer para los clásicos - se pueden obtener soluciones de diffurs.