Seguro que se me escapa algo sencillo. En su documento Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos , Pacific J. Math 8 (1958), 511-28, Matlis tiene el lema 1.1:
Dejemos que $R$ sea un anillo, $S$ y $T$ $R$ -módulos, y $D$ un submódulo inyectivo de $S \oplus T$ . Sea $E$ sea una envolvente inyectiva de $D \cap S$ en $D$ y que $F$ sea un sumando complementario de $E$ en $D$ . Así, $D=E \oplus F$ y $E$ y $F$ se proyectan monomórficamente en $S$ y $T$ respectivamente.
Para contextualizar, $R$ es un anillo con $1$ (y asociativo). Todos los módulos son de izquierda y unitarios. Lo que se me escapa es la afirmación de la prueba "Está claro que $F$ se proyecta monomórficamente en $T$ ." Bueno, en realidad sólo la parte monomofica.
$F$ es un submódulo de $S \oplus T$ por lo que se compone de pares $(x,y)$ con $x \in S$ y $y \in T$ . El mapa $g:F \rightarrow T$ se define por $g(x,y)=y$ . Entonces $ker(g)=\{(x,0):x \in S\}$ es isomorfo a un submódulo de $S$ y $ker(g)$ es un submódulo de $F \cap S$ . ¿Adónde ir ahora, o qué hacer en su lugar?
Se agradecería cualquier sacudida para mi cerebro actualmente adormecido.
