Operador de superposición en espacios de Sobolev

Question

Mientras trabajaba en un problema elíptico en $\mathbb{R}^N$ Me encontré con un problema que no puedo resolver claramente. Supongamos que tenemos una función continua $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que

1. $\lim_{s \to 0}\frac{g(s)}{s}=0$ ;
2. $\lim_{s \to +\infty} \frac{g(s)}{s^{2^*-1}}=0$ , donde $2^*=\frac{2N}{N-2}$ es el exponente crítico de Sobolev en dimensión $N\geq 3$ .

Ahora supongamos que tengo una secuencia $\{u_n\}_n$ de funciones que convergen fuertemente a algún $u$ en $L^q(\mathbb{R}^N)$ , donde $q<2^*$ . Mi pregunta es: ¿es cierto que $\{g(u_n)u_n\}_n$ converge en $L^1$ a $g(u)u$ ?

Estoy en problemas porque no hay una condición precisa de crecimiento en $g$ sólo un comportamiento asintótico. Lo normal sería que $|g(s)| \leq |s|^q$ o algo parecido.

Answer 1

Para $q < 2^*$ (como está escrito), la respuesta es no .

Dejemos que $q' = \frac12(q + 2^*) > q$ . Sea $$ u_n = n^{1/q'}\chi_{[n,n+1/n]} $$ entonces $$ \|u_n\|_q = n^{(q - q')/(qq')} \searrow 0 $$ y vemos que $u_n$ converge fuertemente a 0 en $L^q$ .

Dejemos que $g(s)$ ser más o menos $s^{q'-1}\chi_{[1,\infty)}$ , modificada para que sea continua. Esto satisface las condiciones 1 y 2, ya que $q' - 1 < 2^* - 1$ . Tenemos que $$ \| g(u_n) u_n \|_1 = 1 \qquad \| g(u_n) u_n - g(u_m) u_m \|_1 = 2(1- \delta_{mn}) $$ por lo que no converge fuertemente a $g(u)u = 0$ .