Posible error en el libro de Bloch: $\Bbb S^2\#\Bbb S^2\#\dots\cong\Bbb S^2$ ¡!

Question

Lo siguiente está en el El libro de Bloch: Un primer curso de topología geométrica y geometría diferencial :

y no pude encontrar esto en lista de erratas . ¿Es eso correcto? He encontrado dos posts aquí y aquí que indican que es un error evidente.

Q2: ¿Cuál es la definición/realización exacta del suma conectada infinita ? Creo que un candidato podría ser así: $$M_1=M, M_2=M\# M,\quad M_3=M\# M\# M,\quad\dots\quad M_n=M\# M\#\dots\# M$$ y tienden $n\to \infty$ parece que no es así, ¿por qué?

Answer 1

Estoy de acuerdo con el primer post que enlazas en que conectar la suma con una cantidad infinita de esferas sería lo mismo que quitar un disco, así que tal y como está escrito el argumento no es correcto.

Sin embargo, puedes arreglar el argumento. Tendríamos que $\mathbb{R}^2 \cong A - D^2$ Así que sólo hay que demostrar que si $A$ no es una esfera $A -D^2$ no puede ser homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Esto se desprende de una aplicación de lo que se llama el truco de Alexander (y se aplica a todas las dimensiones). El truco de Alexander dice que se puede extender un auto homeomorfismo de la frontera de un disco a todo el disco.

Sin embargo, no funciona sin problemas. Pero esto se debe a que el resultado que se quiere demostrar en realidad no es cierto suavemente. Existen esferas exóticas que tienen inversos bajo la suma de conexión.