Sobre la diferencia entre dos conceptos de cardinalidades pares: ¿Existe un modelo de la teoría de conjuntos ZF en el que todo conjunto infinito puede dividirse en pares, pero no todo conjunto infinit

Question

Ha surgido una pregunta interesante en este math.stackexchange pregunta sobre dos conceptos de incluso en el contexto de la infinidad de cardinalidades, que son equivalentes bajo el axioma de elección, pero que parece que podrían separarse cuando la elección falla.

Por un lado, un conjunto $A$ puede ser incluso en el sentido de que puede ser dividir en parejas , lo que significa que hay un partición de $A$ en conjuntos de tamaño dos, o lo que es lo mismo, si existe una relación de equivalencia en $A$ , de tal manera que cada clase de equivalencia tiene exactamente dos elementos.

Por otro lado, un conjunto $A$ puede ser uniforme en el sentido de que puede ser cortado por la mitad lo que significa que $A$ es la unión de dos conjuntos disjuntos que son equinuméricos.

Tenga en cuenta que si $A$ se puede cortar por la mitad, entonces se puede dividir en pares, ya que si $A=A_0\sqcup A_1$ y $f:A_0\cong A_1$ es una biyección, entonces $A$ es la unión de la familia de pares $\{x,f(x)\}$ para $x\in A_0$ . Y este argumento no no utiliza el axioma de elección.

Por el contrario, si $A$ se puede dividir en pares, y si tenemos el axioma de elección para conjuntos de pares, entonces podemos seleccionar un elemento de cada par, y $A$ es la unión de este conjunto de elección y su complemento en $A$ que son equinoccial.

Así, cuando se cumple el axioma de elección para conjuntos de pares, entonces los dos conceptos de par son equivalentes. Obsérvese también que todo conjunto infinito bien ordenable es par en ambos y, por tanto, en ZFC, todo conjunto infinito es par en ambos sentidos. Mi pregunta es, ¿cómo de malo puede ser que la elección falla?

• ¿Existe un modelo de ZF en el que todo conjunto infinito pueda ser dividir en pares, pero no todo conjunto infinito puede ser cortado en por la mitad?

• ¿Existe un modelo de ZF que tenga al menos un conjunto infinito que pueda ser dividido en pares, pero no cortado por la mitad?

• ¿Cuál es la relación entre la equivalencia de los dos conceptos de par y el axioma de elección para conjuntos de pares?

Answer 1

(He eliminado mi respuesta de CW ya que era irrelevante y algo errónea, simplemente no lo sabía entonces).

Primero responderemos a la pregunta más fácil: Construiremos un modelo con un conjunto 2-amorfo, que es un conjunto amorfo que se puede dividir en pares pero no se puede cortar en dos conjuntos infinitos.

Comenzamos con un modelo de ZFA donde el conjunto de átomos es contable (por ejemplo), lo escribimos $A=\coprod_n P_n$ donde el $P_n$ son pares.

Ahora toma $\mathscr G$ para ser un grupo de permutaciones tal que $\pi P_n = P_k$ (es decir, la permutación respeta esta partición), junto con el ideal de subconjuntos finitos para el soporte. Sea $\mathfrak A$ sea el modelo de permutación definido por esas permutaciones y el soporte elegido.

Reclamación I: Si $B\subseteq A$ es infinito y en el modelo de permutación entonces sólo para un número finito de $P_n$ tenemos $|P_n\cap B|=1$ .

Prueba: Supongamos, por contradicción, que $E$ sea un soporte finito de $B$ y $P_k=\{a,b\}$ un par que se encuentran $B$ en un solo punto (supongamos $a\in B$ ), así como $P_k\cap E=\varnothing$ . Definir $\pi(a)=b, \pi(b)=a$ y $\pi(x)=x$ de lo contrario. Está claro que $\pi$ fija $E$ pero $\pi B\neq B$ . $\square$

Reclamación II: Si $B\subseteq A$ es infinito y en el modelo de permutación, entonces es cofinito.

Prueba: Supongamos, por el contrario, que $E$ ser un soporte de $B$ y $F$ ser un soporte de $A\setminus B$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $E=F$ (tomar la unión de ambos en caso contrario). Por la afirmación anterior tenemos $\{a_k,b_k\}=P_k\subseteq B$ y $\{a_n,b_n\}=P_n\subseteq A\setminus B$ tal que $E\cap (P_n\cup P_k)=\varnothing$ . Tome $\pi$ sea una permutación para la que $\pi(x_k)=x_n, \pi(x_n)=x_k$ (para $x=a,b$ ) y la identidad en caso contrario.

Una vez más, está claro que $\pi$ fija $E$ alas $\pi E\neq E$ , lo cual es una contradicción. $\square$

Reclamación III: La partición $\mathbb P = \{P_n\}$ está en el modelo de permutación (aunque claramente no es un conjunto contable en él).

Prueba: Está claro que toda permutación en nuestro grupo elegido tiene $\pi(\mathbb P)=\mathbb P$ . $\square$

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Utilice cualquier teorema de transferencia (Jech-Sochor, Pincus, etc.) para tener esto en un modelo de ZF, respondiendo así a la pregunta de que es de hecho posible tener un conjunto que puede ser dividido a pares pero no cortado por la mitad.

En su lugar, se puede tomar una variación del segundo modelo de Cohen. En este modelo añadimos un número contable de números reales indexados como $\{x_{n,\varepsilon,i}\mid n,i\in\omega,\varepsilon\in 2\}$ . A continuación, tomamos $X_{n,\varepsilon}=\{x_{n,\varepsilon,i}\mid i\in\omega\}$ y $P_n=\{X_{n,0}, X_{n,1}\}$ .

Cohen tomó permutaciones de $\omega\times 2\times\omega$ que conservan la $P_n$ 's. En su lugar, podemos tomar permutaciones que sólo preservan la partición y tener el mismo resultado que el anterior. Este modelo, creo que debería responder positivamente a la primera pregunta (no puedo ver por qué, todavía).

En este modelo tenemos que la colección del $X_{n,\varepsilon}$ puede ser dividido en pares, sin embargo el conjunto de índices de estos pares no necesita ser dividido en pares en sí mismo. De hecho, tal división induciría una partición en conjuntos de $4$ elementos, que también serían divisibles e induciendo así una partición de $8$ elementos, y así sucesivamente para tener cada $2^n$ tamaño de la partición. Dudo que este sea el caso en la variante que he descrito anteriormente.

También queda por comprobar estas propiedades en el conjunto de todos nuestros reales genéricos: si es contable, o incontable (pero no bien ordenable), y si esa colección también puede dividirse.

Answer 2

He aquí un ejemplo algo informal que parece pertinente: Sabemos que el coeficiente binomial $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}2$ es un número entero porque el numerador es incluso . Una explicación es "bueno, $n$ es par o bien $n-1$ es par, así que en cualquier caso el numerador es par". Un punto de vista combinatorio es que esto dice que $(\mathbf{n})_2$ es incluso donde $\mathbf{n}=\lbrace0,1,\cdots,n-1\rbrace$ y para cada conjunto $S$ dejamos que $(S)_2=\lbrace(a,b) \mid a \ne b\rbrace. $

¿En qué sentido es cierto que $(S)_2$ es "par" para conjuntos arbitrarios $S?$ En particular, ¿es diferente para las dos nociones de "par"?

Hay una forma obvia de dividir $(S)_2$ en parejas . (He cambiado la frase ya que los elementos de $(S)_2$ son a su vez pares) Si suponemos que $S$ tiene un orden distinguido entonces hay una forma natural de cortar $(S)_2$ por la mitad . De lo contrario, no hay una forma clara de hacerlo.

Considere la pregunta

¿En qué sentido es $S \cup (S \times S)$ ¿Incluso?

podemos acoplar $s$ con la pareja $(s,s)$ y tratar los pares restantes como antes. De nuevo, cortar por la mitad parece menos natural.

No estoy tan seguro de cómo vincular esto a los modelos formales de ZF (¿topoi? ¿conjuntos equivariantes?) Tal vez la respuesta de Asaf, que merece un análisis más detallado del que le he dado.

pensamientos posteriores

1) Me parece que decir $(S)_2$ siempre se puede reducir a la mitad debe sea equivalente al axioma de elección para conjuntos de 2 elementos. Supongo que esto no está tan claro porque depende de la intuición de que $(a,b)$ y $(b,a)$ nunca estarían en la misma mitad. Es difícil imaginar cómo podrían estarlo si no tenemos conocimientos especiales sobre $S$ pero tal vez no se sigue axiomáticamente.

2) No creo que sea esto lo que preguntaba Theo en su comentario, pero sí cortar $V$ en la mitad significa que tenemos un par ordenado $(V_1,V_2)$ de conjuntos disjuntos con unión $V$ y una biyección O significa que tenemos un conjunto $\lbrace Y,Z\rbrace$ de conjuntos disjuntos con unión $V$ y una biyección? En otras palabras, ¿dice que tenemos un grafo dirigido con conjunto de vértices $V$ y el grado total (entrada más salida) $1$ o significa que tenemos un grafo no dirigido con un conjunto de vértices $V$ regular de grado 1? En el primer caso sí que tenemos elección de pares.

3) Me recuerda el trabajo de John Conways sobre Implicaciones efectivas entre los axiomas de elección "finitos"