Para funciones no negativas, ¿son equivalentes las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue?

Question

Para las funciones $f : \Bbb{R} \mapsto \Bbb{R^+ \cup 0}$ que son no negativas en todas partes, ¿la existencia de la integral de Riemann-Stieltjes implica la existencia de la integral de Lebesgue (y la inversa)? Si las integrales existen, ¿son siempre iguales?

Sospecho que la respuesta a la cuestión de la existencia es que la existencia de la integral de Lebesgue no implica que la integral de Riemann exista, pero no puedo encontrar una función de contraejemplo. Si el problema se restringe a las integrales propias, sospecho que la equivalencia se mantiene.

Answer 1

Si $f$ es Lebesgue-integrable, y $h=f$ en todas partes excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero, entonces $h$ es también Lebesgue-integrable (y $\int h = \int f$ ). Esta propiedad ciertamente no se cumple para la integral de Riemann-Stieltjes.

Por ejemplo, la función característica de los racionales en $[0,1]$ es Lebesgue-integrable (con integral $0$ ), pero no es integrable por Riemann. De hecho, casi todas las funciones que son Lebesgue-integrables no son Riemann(-Stieltjes)-integrables.

Answer 2

Realmente no se pueden comparar las dos, porque la integral de Lebesgue $$\int f \;d\mu$$ sólo depende de $f$ y por otro lado la integral R-S $$\int f\; dg$$ depende de ambos $f$ y $g$ .

Por ejemplo, si tomamos $g$ sea una función constante, entonces la integral R-S $$\int f \;dg = 0$$ para cualquier función $f$ incluso cuando $f = \chi_{A}$ donde $A$ es un conjunto medible no-Lebesgue, aquí claramente $f$ no es integrable en Lebesgue porque no es medible en Lebesgue.