Una curiosa construcción de un complejo de cadenas y su homología

Question

... curioso para mí, es decir.

Supongamos dos filtraciones de módulos $$\cdots < A_3 < A_2 < A_1 < \cdots$$ y $$\cdots < B_3 < B_2 < B_1 < \cdots$$ son comparables en el sentido de que para todo $j$ , $B_{j+1} < A_{j} < B_{j-1}$ ; luego están los complejos naturales $$\cdots \to \frac{A_3}{B_4} \to \frac{A_2}{B_3} \to \frac{A_1}{B_2} \to \cdots$$ y $$\cdots \to \frac{B_3}{A_4} \to \frac{B_2}{A_3} \to \frac{B_1}{A_2} \to \cdots$$ ambos con grupos de homología $$\frac{A_i\cap B_i}{A_{i+1} + B_{i+1}} .$$

Mi pregunta tiene dos partes:

1. este isomorfismo canónico $H(A^+/B)\simeq H(B^+/A)$ ¿tiene un nombre?

2. es útil ?

Answer 1

No sé si esto califica como una respuesta, pero quería señalar que su isomorfismo surge como el mapa de frontera en una corta secuencia exacta de complejos de cadena. Tenga en cuenta que

$$\cdots\to \frac {B_2}{B_4} \to \frac {B_1}{B_3} \to\frac {B_0}{B_2} \to\cdots$$

es una secuencia exacta larga. Cuando se ve como un complejo de cadena, encaja junto con sus otros dos complejos de cadena (con uno de ellos desplazado) en una secuencia exacta corta de complejos de cadena con columnas que se parecen a

$$0 \to \frac {A_2}{B_3} \to\frac {B_1}{B_3} \to\frac {B_1}{A_2} \to 0.$$

La secuencia exacta larga inducida en homología tiene uno de cada tres términos cero porque el complejo de cadenas añadido es exacto. Por tanto, los mapas de frontera son isomorfismos (no he comprobado que sean los isomorfismos que mencionas, pero sería algo impar si no lo fueran...). En cuanto a la pregunta 2, no estoy seguro, pero al menos es un caso especial de algo útil.