I - T no es un isomorfismo en espacios normados no-Banach

Question

Así que sé que si $T : X \to X$ es un operador acotado con $X$ un espacio de Banach y que $\|T\| < 1$ entonces $I - T$ es un isomorfismo. ¿Es esto cierto en los espacios normados en general?

Answer 1

Por ejemplo, dejemos que $X$ sean los polinomios con la norma $$ \|f\| = \sup_{x \in [0,1/2]} |f(x)|$$ y $$T(f)(x) = \int_0^x f(t)\; dt$$
Es fácil ver que $\|T\| \le 1/2$ . Pero $I-T$ no es un isomorfismo, por ejemplo, no hay $f$ tal que $f - Tf = 1$ (como se ve al diferenciar el ecuación $f(x) - \int_0^x f(t)\; dt = 1$ , dando lugar a un problema de valor inicial de ecuación diferencial cuya solución no es un polinomio).