Una aplicación del Teorema de la Diferenciación de Lebesgue

Question

Dejemos que $\delta_0$ sea la medida definida como $\delta_0(A)=1$ si $0 \in A$ y $\delta_0(A)=0$ . Sea $g_h(x)=\frac{1}{h}1_{[-h,h]}$ y definir $\nu_h$ como:

$\nu_h(A)=\int_{A}g_h(x)dx$ .

Demuestre que para cada $f$ continua tenemos

$lim_{h \to 0}\int_{\mathbb{R}}fd\nu_h=\int_{\mathbb{R}}fd\delta_0$ .

Mi intento:

Por lo tanto, creo que es una aplicación complicada del Teorema de la Diferenciación de Lebesgue que establece que(como en folland): Si $k\in L^1$ entonces para casi todas las x:

$lim_{r \to 0} \frac{1}{m(E_r)}\int_{E_r}k(y)dy=k(x)$

para cada familia $E_r$ que se reducen muy bien a x.

Así que para nosotros, $E_r=[-h,h]$ entonces

$\nu_{h}(A)=\int_{E_r}g_h(x)dx=\int_{E_r}\frac{1}{2h}1_{[-h,h]}dx=\frac{1}{2h}\mu(E_r\cap[-h,h])=\frac{2h}{2h}=1$ ,

y luego no sé cómo obtener la función $k$ para aplicar la LDT.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Para cada $f\in L^1(\mathbb R)$ tenemos $\int fd\nu_h=\int fg_hdx=\frac{1}{h}\int_{-h}^{h}fdx.$

Aplicando el Teorema de la Densidad de Lebesgue, obtenemos

$\lim_{h\to 0}\int fdv_h=f(0).$

Por otra parte, de la definición de $\delta_0$ que

$\int fd\delta_0=\int\chi_{(-1/n,1/n)}\cdot fd\delta_0$

y como $\chi_{(-1/n,1/n)}\cdot f\le |f|,$

el Teorema de Convergencia Dominada da

$\int fd\delta_0=\lim\int fd\delta_0=\lim\int\chi_{(-1/n,1/n)}\cdot fd\delta_0=\int\lim\chi_{(-1/n,1/n)}\cdot fd\delta_0=f(0)\cdot \delta_0(0)=f(0)$

y concluimos que $\lim_{h\to 0}\int fdv_h=\int fd\delta_0.$