Infinitas soluciones enteras positivas de la ecuación: $x^2+x+1=(y^2+y+1)(n^2+n+1)$

Question

¿Podría alguien ayudarme con algunas ideas sobre el siguiente problema?

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Demostrar que hay infinitos pares de números enteros positivos $(x\, y)$ tal que $$x^2+x+1=(y^2+y+1)(n^2+n+1).$$ Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA:

Arreglar $n$ . Se obtiene una ecuación cuadrática en $x$ , $y$ . Debes reducirlo a una ecuación Pell de la siguiente manera:

$$(4 x^2 + 4 x + 4 ) = (n^2 + n+1)(4 y^2 + 4 y + 1)\\ (2x+1)^2 + 3 = N \cdot ((2y+1)^2 + 3)\\ (2x+1)^2 - N (2y+1)^2 = 3(N-1)\\ a^2 - N b^2 = 3(N-1)$$

Tienes una solución para la última ecuación, $a=2n+1$ , $b=1$ , que viene de la obvia igualdad $(n^2 + n+1)=(n^2 + n+1)(0^2 + 0+1)$ .

Consideremos ahora una solución para el Ecuación Pell $$A^2 - N B^2 =1$$ con $A$ , $B$ enteros positivos ( $N = n^2 + n+1$ es impar, no un cuadrado). Tenga en cuenta que $A$ , $B$ tienen paridades opuestas. Ahora $$(a'+b'\sqrt{N}) = (A+B\sqrt{N})(a+b\sqrt{N})$$ satisface de nuevo $$a'^2 -N b'^2 = 3(N-1)$$ y $a'$ , $b'$ son enteros positivos Impares. Dado que hay infinitos tales $A$ , $B$ obtenemos infinitas soluciones $(a,b)$ Impares enteros positivos.

Answer 2

Para resolver la ecuación diofantina.

$$x^2+x+1=(z^2+z+1)(y^2+y+1)$$

Es necesario utilizar las soluciones de la ecuación de Pell. $p^2-(z^2+z+1)s^2=\pm1$

Entonces las soluciones pueden escribirse como sigue.

$$x=\mp((z+1)p^2+(z^2+z+1)(zs-p)s)$$

$$y=\mp((2z+1)p-(z^2+z+1)s)s$$

Para ser positivo hay que tomar decisiones en $-1$ .