Como señaló Willie Wong al principio de los comentarios del problema original, la conservación de la energía se aplica a la bola de billar en el cuadrado inclinado (o hasta el fondo), y esto en sí mismo puede impedir que la bola pase alguna vez por ciertos puntos. En su respuesta al análisis de la imagen de Robert Israel, Katie Mann amplía esta idea. Permítanme que trate de concretar más las cosas.
Vale la pena ver la trayectoria del billar como si tuviera lugar en las cuatro copias del cuadrado de la unidad que comprende la mitad izquierda de la imagen de Katie, con las cuatro direcciones diferentes de la gravedad. Pensemos en esto como el "cuadrado de la unidad" $[-1,1]\times[-1,1]$ (a diferencia del "cuadrado de la unidad") $[0,1]\times[0,1]$ ), con vectores de gravedad $(\pm\cos\theta,\pm\sin\theta)$ , donde $\theta = \pi/6$ y los signos se eligen para los cuadrantes de manera que la gravedad apunte generalmente hacia el origen (es decir, hacia el $x$ y $y$ ejes). En esta configuración podemos utilizar condiciones de contorno toroidales en lugar de reflexiones para seguir las trayectorias.
En su aclaración de la respuesta de Katie, Robert señala que la " $y$ componente de la energía" en el cuadrado de la unidad se conserva. Esto es válido para la " $x$ componente". Esto significa que los dos componentes del movimiento son completamente independientes. Y esto significa que cada componente se describe sencillamente, como en mi respuesta al problema original (para el cuadrado desplomado), por una secuencia repetida de funciones cuadráticas del tiempo, cada una con su propio período. Que la trayectoria global del billar sea periódica sólo depende de que el cociente de estos dos períodos sea racional.
La trayectoria de Robert puede considerarse que comienza en $(-1,0)$ en el cuadrado de la unidad con la velocidad inicial $(\sin\theta,\cos\theta)$ sujeta al vector gravedad $(\cos\theta,-\sin\theta)$ . Esto significa que el $y$ La componente del movimiento se describe (inicialmente) por
$$y(t)=t\cos\theta - (1/2)t^2\sin\theta$$
que llega al máximo cuando $t=\cos\theta/\sin\theta = \sqrt3$ (con $y(\sqrt3)=(6-3\sqrt3)/4 < 1$ para que, como observó Katie, el $y$ de la trayectoria nunca alcanza su "techo"). Por lo tanto, el $y$ en el cuadrado de la unidad tiene periodo $4\sqrt3$ .
El $x$ por otro lado, parte de su "techo" en dirección a su "suelo" con la ecuación
$$x(t) = -1 + t\sin\theta + (1/2)t^2\cos\theta$$
para que complete la mitad de su ciclo cuando
$$t = {\sqrt{\sin^2\theta + 2\cos\theta}-\sin\theta \over \cos\theta} = {\sqrt{1+4\sqrt3}-1 \over \sqrt3}$$
Por lo tanto, la relación de los dos períodos es $(\sqrt{1+4\sqrt3}-1)/2$ un número decididamente irracional. (De hecho, la falta de agilidad de este resultado hace que me preocupe por haber cometido un error en alguna parte del álgebra. En cualquier caso, alguien debería comprobar mi trabajo y, por favor, corregirme si me equivoco). La irracionalidad del cociente implica que la trayectoria de Robert no es periódica.
Merece la pena considerar lo que ocurre si simplemente se deja caer una bola de billar desde el punto más alto del cuadrado inclinado. Esto equivale a empezar con velocidad cero desde $(-1,1)$ en el Cuadrado de la Unidad, y en este caso cada componente va de su respectivo "techo" al "suelo" y viceversa, con ecuaciones
$$x(t) = -1 + (1/2)t^2\cos\theta$$ y $$y(t) = 1 - (1/2)t^2\sin\theta$$
lo que hace que la relación de los períodos de los dos componentes sea igual a $\tan\theta$ . Para $\theta = \pi/6$ es irracional, lo que implica que esta trayectoria tampoco es periódica, pero para otros valores de $\theta$ Por supuesto, la relación puede ser racional. En particular, si se toma el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo racional (con los otros dos lados horizontales y verticales), y se deja caer una bola de billar desde su esquina superior, la trayectoria resultante será periódica.
Espero no haberme equivocado demasiado aquí.
Corrección (añadida el 3 de agosto): Además del pequeño error que Joseph O'Rourke señaló en los comentarios, me equivoqué completamente en lo que dije sobre los triángulos rectos racionales. Esto se debe a que la relación de los períodos para una bola lanzada desde la esquina superior de un cuadrado inclinado es $\sqrt{\tan \theta}$ no $\tan\theta$ . Ciertamente hay $\theta$ para los que $\sqrt{\tan\theta}$ es racional, pero ninguno de ellos proviene de triángulos rectos racionales, ya que eso violaría la proscripción de Fermat sobre las soluciones de la ecuación $a^4 + b^4 = c^2$ .
