Estoy buscando ejemplos de pruebas del (Primer) Teorema de Incompletitud de Godel que sean esencialmente diferente de (la mejora de Rosser de) la prueba original de Godel.
Esto se inspira en parte en las preguntas que se han formulado anteriormente:
( Pruebas del teorema de Gödel )
( Cuándo dos pruebas del mismo teorema son realmente pruebas diferentes )
Para dar un ejemplo de lo que quiero decir: La prueba de Godel/Rosser (ver http://www.jstor.org/pss/2269059 para una exposición) muestra que cualquier teoría axiomatizable consistente y suficientemente fuerte es incompleta. La prueba utiliza una cantidad sustancial de teoría de la recursión: la representabilidad de las funciones recursivas primitivas y el lema de la diagonal (más o menos lo mismo que el teorema de la recursión de Kleene) son ingredientes esenciales. El segundo teorema de incompletitud -que ninguna teoría axiomatizable suficientemente fuerte puede demostrar su propia consistencia- es esencialmente un corolario de esta demostración, y uno bastante natural. Por otra parte, en 2000 Hilary Putnam publicó ( https://doi.org/10.1305/ndjfl/1027953483 ) una prueba alternativa del primer teorema de incompletitud de Godel, debida a Saul Kripke hacia 1984. Esta prueba utiliza mucho menos la teoría de la recursión, basándose en cambio en alguna teoría elemental de modelos no estándar de la aritmética. El teorema demostrado es ligeramente más débil, ya que la prueba de Kripke requiere $\Sigma^0_2$ -sonoridad, que es más fuerte que la mera consistencia (aunque todavía más débil que la suposición original de Godel de $\omega$ -consistencia).
La prueba de Kripke es claramente lo suficientemente diferente de la prueba de Godel/Rosser como para merecer ser considerada un objeto genuinamente separado. Lo que hace que la diferencia parezca realmente impresionante, al menos para mí, es que la prueba de Kripke produce un corolario diferente al de Godel/Rosser. En un breve párrafo, Putnam muestra (y no sé si esta parte de su trabajo se debe a Kripke) que el argumento de Kripke demuestra que no hay ninguna extensión consistente finitamente axiomatizable de $PA$ . Este no es un resultado que yo sepa que se desprende de la prueba de Godel/Rosser; además, el Segundo Teorema de Incompletitud, que es un corolario de la prueba de Godel/Rosser, no parece fácilmente derivable de la prueba de Kripke.
Motivado por esto, digamos que dos demostraciones de (aproximadamente) el mismo teorema son esencialmente diferente si dan lugar a diferentes corolarios naturales. Es evidente que se trata de una noción totalmente subjetiva, pero creo que tiene suficiente significado compartido como para que valga la pena.
Mi pregunta principal, entonces, es:
- ¿Qué otras pruebas esencialmente diferentes de algo parecido al Primer Teorema de Incompletitud de Godel se conocen? En otras palabras, ¿hay alguna otra prueba de algo parecido a "toda extensión axiomatizable consistente de $PA$ es incompleto" que no da como corolario natural el Segundo Teorema de Incompletitud de Godel?
Me interesan especialmente las pruebas que no dan lugar a la inexistencia de extensiones consistentes finitamente axiomatizables de $PA$ y en las pruebas que sí dan algunos corolario natural. No me importa especialmente la versión precisa del Primer Teorema de Incompletitud demostrado: si se aplica a sistemas en el lenguaje de la aritmética de segundo orden, si asume $\omega$ -consistencia, o si sólo se aplica a sistemas más fuertes que $ATR_0$ digamos, que para mí es lo mismo. Sin embargo, yo hacer requieren que la versión del teorema de incompletitud demostrada se aplique a todos los sistemas suficientemente fuertes con cualquier propiedad de consistencia que se necesite; así, por ejemplo, no consideraría el trabajo de Paris y Harrington como un buen ejemplo de esto.
El único otro ejemplo potencial de una prueba esencialmente diferente que conozco es la(s) prueba(s) de Jech y Woodin (véase https://andrescaicedo.files.wordpress.com/2010/11/2ndincompleteness1.pdf ), pero no comprendo esa prueba a un nivel tal que me sienta cómodo diciendo que es de hecho una prueba esencialmente diferente. Me parece que es bastante similar a la prueba original. ¿Quizás alguien pueda aclararme?
Por supuesto, totalmente aparte de mi pregunta principal, mi caracterización de la diferencia entre las dos pruebas específicas del teorema de incompletitud mencionadas anteriormente puede ser incorrecta. Así que también me interesa la siguiente pregunta:
- ¿Es cierto que la prueba de Kripke no da lugar a la Segunda Incompletitud como corolario natural, y que la prueba de Godel/Rosser no da lugar fácilmente a la inexistencia de una extensión finitamente axiomatizable de PA como corolario natural?
