¿Cuál es la implicación intuitiva detrás de $L' = L + \frac{df}{dt}$ no afecta a las ecuaciones de movimiento?

Question

Me refiero a otro post sobre la misma cuestión que este post: Lagrangiano $L' = L + \frac{df}{dt}$ da las mismas ecuaciones de movimiento

En el primer párrafo, el cartel dice:

"Es bien sabido que cuando un lagrangiano $L$ se incrementa con la derivada temporal total de una función $f$ que no depende de las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas, se obtienen las mismas ecuaciones de movimiento".

He comprobado esta afirmación y entiendo la derivación, pero ¿cuál es la implicación intuitiva de esto? Supongo que la pregunta se reduce a qué es el lagrangiano en relación con las ecuaciones de movimiento. Qué cambiaría al perturbar la lagrangiana con esta función, $f(q_1, ...,q_n,t)$ ?

Soy nuevo en la física, vengo de una formación en matemáticas.

Answer 1

Supongo que la pregunta se reduce a cuál es el lagrangiano en relación con las ecuaciones de movimiento.

Sí, exactamente. La pista es que las ecuaciones de movimiento para $q(t)$ son equivalentes a la principio de mínima acción : $$S[q,t_1,t_2] := \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt=\text{Min}.$$

Es casi trivial demostrar que esta acción $S$ sólo cambia por una constante, cuando se sustituye el lagrangiano $L$ por el Lagrangiano $L'=L+\frac{df}{dt}$ .

$$S'[q,t_1,t_2] = S[q,t_1,t_2] + f(q(t_2),t_2) - f(q(t_1),t_1)$$

Así, cuando $S$ es mínimo para el movimiento $q(t)$ , entonces $S'$ es mínimo para el mismo movimiento $q(t)$ . Eso significa que, tanto los Lagrangianos $L$ y $L'$ debe llevar a la misma ecuaciones de movimiento.

Answer 2

La función física de SE consiste en ofrecer (en la columna de la derecha de la página) sugerencias, bajo el epígrafe "Relacionado".

En este caso concreto, la columna "Relacionado" ofrece un enlace a una pregunta de 2011 titulada Invarianza de Lagrange en la suma de la derivada temporal total de una función de coordenadas y tiempo

Según la respuesta a esa pregunta, esa invarianza está de acuerdo con la relatividad del movimiento inercial.

Ejemplo:
La dinámica de las bolas de malabares es independiente de una velocidad relativa constante. Puedes estar en el andén de una estación de tren, o en un tren que se mueve a una velocidad constante, la forma en que se moverán las bolas en relación con usted es el mismo. Si lanzas la pelota hacia arriba, volverá a caer en tu mano. Esto es válido para los miembros de la clase de equivalencia de los sistemas de coordenadas inerciales.

El criterio de la acción estacionaria es que para encontrar la verdadera trayectoria se encuentra el punto en el espacio de variación donde la derivada de la Acción $S$ (con respecto a la variación) es cero.

Es decir, en términos de acción estacionaria el valor de la Acción $S$ no es relevante en sí mismo. El factor relevante es el derivado de la Acción $S$ con respecto a la variación.

Como sabemos, tomar una derivada es una operación que descarta cierta información. Esto deja espacio para la ingeniería inversa, que permite modificar el lagrangiano sin dejar de llegar al mismo punto en el espacio de variación.

Para más información sobre el concepto de acción estacionaria:

Hay una respuesta 2021 de mi parte sobre La acción estacionaria de Hamilton con una derivación en dos etapas:
1 Derivación del teorema Trabajo-Energía de $F=ma$
2 Demostración de que en los casos en que el teorema Trabajo-Energía es válido la acción estacionaria de Hamilton también lo será

(Por supuesto, la presentación habitual comienza planteando la acción estacionaria de Hamilton y a continuación se demuestra que F=ma puede recuperarse a partir de ella. Como señaló el colaborador Kevin Zhou (16 de enero de 2020): "[...] en física a menudo se pueden hacer derivaciones en ambas direcciones").

Answer 3

Bueno, la explicación intuitiva es clara y se puede generalizar a la teoría de campos: La derivada funcional $$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}\tag{1}$$ (en un punto interior $x\in M$ del espacio-tiempo) es un objeto derivado al hacer pequeñas variaciones localizadas alrededor de $x$ (lejos de la frontera), y su valor (1) no se ve afectado al añadir un término de frontera a la acción $S$ (lejos de $x$ ).

Para más detalles, véase también, por ejemplo, mi respuesta relacionada en Phys.SE aquí .