Necesito ayuda con una prueba que involucra subgrupos de $D_{n}$

Question

Tengo una pregunta que necesita atención con respecto al grupo diédrico $D_{n}$ . Este es el contexto del problema:

Consideremos el grupo diédrico $D_{n}$ . Sea $\sigma$ sea una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $\frac{2\pi}{n}$ y $\tau$ ser un reflejo.

(1) Demuestre que el subgrupo generado por $\sigma\tau$ y $\sigma^{2}\tau$ es todo $D_{n}$ .

(2) Encuentra el subgrupo generado por $\sigma^{2}$ y $\sigma^{2}\tau$ .

Para la parte (1) no estoy seguro de que el lenguaje sea lo suficientemente claro como para saber lo que se pide que demuestre. ¿Estoy simplemente "multiplicando" (u operando) $\sigma\tau$ y $\sigma^{2}\tau$ varias veces hasta que tenga $D_{n}$ ? Eso parece poco probable dado el orden de $D_{n}$ es $2n$ .

Se agradecería cualquier ayuda.

EDIT: Puedo demostrarlo $\sigma=\sigma\tau\sigma^{2}\tau$ utilizando el hecho de que $\sigma^{-1}=\sigma$ y también $\tau^{2}=1$ . Pero no está claro cómo puedo obtener $\tau$ con cualquier operación finita de $\sigma\tau$ y $\sigma^{2}\tau$ .

Lo único que se me ha ocurrido es $(\sigma^{2}\tau)^{3}=\sigma\sigma\tau\sigma\sigma\tau\sigma\sigma\tau$ y si utilizamos $\sigma^{-1}=\sigma$ esto se reduce a $\tau\tau\tau=\tau^{2}\tau$ . Observando que $\tau^{2}=1$ se deduce entonces que $(\sigma^{2}\tau)^{3}=\tau$ Creo que . .

Answer 1

Para (1), dejemos que $H$ denota el subgrupo generado por $\sigma \tau$ y $\sigma^2 \tau$ . Tenga en cuenta que $\sigma = (\sigma^2 \tau)(\sigma \tau)^{-1} \in H$ Por lo tanto $\langle \sigma \rangle \leq H$ lo que demuestra que $|H| \geq n$ Así que $|D_n : H| \leq 2$ . Desde $\sigma \tau$ también está en $H$ pero no en $\langle \sigma \rangle$ Esto significa que $|H| > n$ Por lo tanto $|D_n : H| < 2$ que obliga a $|D_n : H| = 1$ Así que $H = D_n$ .

[Lo anterior implica, por supuesto, que $\tau \in H$ . Para ver esto explícitamente, utilice el hecho (mostrado en el párrafo anterior) de que $\sigma \in H$ . Por lo tanto, $\tau = (\sigma^2 \tau)\sigma^2 \in H$ .]

Para (2), dejemos que $K$ denota el subgrupo generado por $\sigma^2$ y $\sigma^2 \tau$ . Tenga en cuenta que $\tau = (\sigma^2)^{-1}(\sigma^2 \tau) \in K$ . También hay que tener en cuenta que para cualquier número entero $n$ tenemos $\sigma^{2n} \in K$ .

Observe que $\langle \sigma \rangle$ es un subgrupo normal de $D_n$ porque tiene el índice 2. Entonces, observe que $\langle \sigma^2 \rangle$ es un subgrupo característico de $\langle \sigma \rangle$ (todo subgrupo de un grupo cíclico finito es característico). Por lo tanto, $\langle \sigma^2 \rangle$ es normal en $D_n$ . De ello se desprende que $\langle \sigma^2 \rangle \langle \tau \rangle$ es un subgrupo de $D_n$ . Es evidente que este subgrupo contiene $\sigma^2$ y $\sigma^2\tau$ por lo que contiene $K$ el subgrupo generado por estos elementos. Esto demuestra que $K \leq \langle \sigma^2 \rangle \langle \tau \rangle$ .

Por el contrario, un elemento arbitrario de $\langle \sigma^2 \rangle \langle \tau \rangle$ es de la forma $\sigma^{2n}$ o $\sigma^{2n}\tau$ para algún número entero $n$ . Por lo tanto (por las observaciones anteriores al párrafo anterior), este elemento está en $K$ . Esto demuestra que $\langle \sigma^2 \rangle \langle \tau \rangle \leq K$ .

Como hemos demostrado ambas contenciones, concluimos que $K = \langle \sigma^2 \rangle \langle \tau \rangle$ .