Norma del operador = 1

Question

Sea un mapa lineal $T$ tal que $T: \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ . La norma del operador $\lVert \cdot\lVert_{op}$ de $T$ se define entonces como el mayor valor de $c$ para lo cual $\lVert T(\vec v)\lVert \leq c\cdot\lVert\vec v\lVert,\;\forall\vec v\in\mathbb R^n$ . En este caso me interesan los casos en los que $\lVert\cdot\lVert$ es la norma euclidiana. Siempre que $T$ puede darse en forma de matriz $\mathbf A$ de dimensión $m\times n$ o, en otras palabras, siempre que $T(\vec v) = \mathbf A\cdot\vec v$ se puede demostrar que

$$\lVert \mathbf A\lVert_{op} = \sqrt{\lambda_{max}}$$

donde $\lambda_{max}$ es el mayor valor propio de $\mathbf A^T\mathbf A$ .

En el caso de que $\lVert \mathbf A\lVert_{op}\leq1$ tenemos que $\lambda_{max}\leq1$ . ¿Qué propiedades tiene $\mathbf A$ ¿necesita tener para respetar esta última ecuación? O, en otras palabras, ¿qué tipo de propiedades tiene $\mathbf A$ que hay que tener para tener el mayor valor de $\mathbf A^T\mathbf A$ sea menor o igual a 1?

Se agradece mucho.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que tu definición de la norma del operador no es correcta. Debería decir que $\|T\|_{op}$ es el menos $c$ tal que $\|T\vec v\|\leq c\,\|\vec v\|$ para todos $\vec v$ .

Obsérvese también que la norma del operador depende de las normas que se den a $\mathbb R^n$ y $\mathbb R^m$ . La opción canónica es tomar la norma euclidiana en ambos, pero esa opción no es en absoluto la única.

En cuanto a los $A$ tal que $\|A\|_{op}\leq1$ no se puede esperar que ninguna propiedad algebraica los caracterice. En efecto, dada cualquier matriz $B$ la matriz $A=B/\|B\|_{op}$ satisface $\|A\|_{op}=1$ .

Por supuesto, hay algunas condiciones necesarias. Si $\|A\|_{op}\leq1$ , entonces para todos los $k,j$ $$|A_{kj}|=|\langle Ae_j,e_k\rangle|\leq\|A\|_{op}\,\|e_j\|\,\|e_k\|\leq1.$$ Más que eso, si $e$ es el vector con todas las entradas iguales a 1, entonces $$ 1\geq\|A\|_{op}\geq\,\frac1n\,|\langle Ae,e\rangle|=\frac1n\,\left|\sum_{k=1}^m\sum_{j=1}^nA_{kj}\right|. $$ O, para cada $j$ , $$ 1\geq\|A\|_{op}^2\geq\|Ae_j\|^2=\sum_{k=1}^m|A_{kj}|^2 $$