¿Cuál es la conexión natural entre dos tipos de teoría diferentes?

Question

¡todo el mundo!
He sabido que hay dos tipos de teoría de la representación:
La primera es "la teoría de la representación de las algebras", este tipo de teoría de la representación utiliza muchos métodos homológicos (las representaciones son exactamente módulos; representaciones de quivers......).
El segundo tipo de teoría de la representación trata más bien de "representaciones de grupos" (grupos algebraicos, grupos de Lie, $GL_n(F_q)$ .....). Este tipo de teoría de la representación utiliza muchas herramientas en el análisis y la teoría de números (funciones L, formas modulares, análisis armónico .....). Parece que estos dos tipos de teoría son diferentes.
¡Muchas gracias!

Answer 1

Sí, hay una estrecha relación. Supongamos que $G$ es un grupo y $k$ es un campo. Entonces hay una correspondencia 1-1 entre

1. Representaciones lineales de $G$ en espacios vectoriales sobre $k$ .
2. Izquierda $k[G]$ -módulos, donde $k[G]$ es el anillo de grupo de $G$ coeficientes en $k$ . (Nota: deberíamos exigir que $1$ actúa como la identidad). Ya que has mencionado las álgebras, ten en cuenta que puedes pensar en $k[G]$ como $k$ -Álgebra.

La correspondencia proviene de la copia $G \subset k[G]$ . Para pasar de 1 a 2, ampliamos una representación por linealidad. Para pasar de 2 a 1, sólo tenemos que restringir.