Encontrando $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}}\cot(\frac{x}{2^n})$

Question

Encuentra: $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right)$$

¿Puede utilizarse la regla de L' Hopital para resolver esto? Y diferenciarlo con respecto a $x$ o $n$ ?

Lo que he descubierto es que

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)} \end{equation}

que es de la forma $\frac{0}{0}$ pero no sé cómo ir más allá. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$ y $$ \lim_{x\to 0}\cos x =1. $$

Answer 2

Dejemos que $\displaystyle \varepsilon=\frac{x}{2^{n}}$ y aplicando la regla de L'Hospital,

\begin{align*} \lim_{n\to \infty} \frac{\cot \frac{x}{2^{n}}}{2^{n-1}} &= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{2\varepsilon}{x\tan \varepsilon} \\ &= \lim_{\varepsilon \to \infty} \frac{2}{x\sec^{2} \varepsilon} \\ &= \frac{2}{x} \end{align*}

Answer 3

Prueba esto Sabemos que $\lim_{x \to \ 0}$$ \texto{tan}(x)\Nsobre x $$ = 1$ Ahora, $\text{cot}(\frac{x}{2^n})$ = $2^n\over x$ Entonces la respuesta es $2\over x$ . Puedes usar la regla de L'Hopital pero se hace más difícil.

Answer 4

Es mucho más sencillo reescribirlo como $\;2^{n-1}\dfrac{1}{\tan\dfrac{x}{2^n}}$ y utilizar equivalentes : $$\tan u\sim_0 u,\quad\text{hence}\quad \frac{1}{2^{n-1}}\cot\Bigl(\frac{x}{2^n}\Bigr) \sim_\infty \frac{1}{2^{n-1}}\frac{1}{\dfrac{x}{2^n}}=\frac 2x.$$

Answer 5

También se puede calcular $$ \lim_{t\to\infty}\frac{2}{t}\cot\frac{x}{t} $$ porque si este límite existe, también su secuencia converge en el mismo límite que $\lim_{n\to\infty}2^n=\infty$ .

Ahora puede utilizar las sustituciones con más libertad: utilice $u=x/t$ , por lo que se obtiene (para $x>0$ ) $$ \lim_{t\to0^+}\frac{2}{x}\frac{u}{\tan u}=\frac{2}{x} $$ Para $x<0$ el límite es para $t\to0^-$ pero el valor final es el mismo.