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Encontrando lim

Encuentra: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right)

¿Puede utilizarse la regla de L' Hopital para resolver esto? Y diferenciarlo con respecto a x o n ?

Lo que he descubierto es que

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}}\cot\left(\frac{x}{2^n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^{n-1}}\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)} \end{equation}

que es de la forma \frac{0}{0} pero no sé cómo ir más allá. Se agradece cualquier ayuda.

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choco_addicted Puntos 1145

Una pista: \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 y \lim_{x\to 0}\cos x =1.

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s01ipsist Puntos 1104

Dejemos que \displaystyle \varepsilon=\frac{x}{2^{n}} y aplicando la regla de L'Hospital,

\begin{align*} \lim_{n\to \infty} \frac{\cot \frac{x}{2^{n}}}{2^{n-1}} &= \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{2\varepsilon}{x\tan \varepsilon} \\ &= \lim_{\varepsilon \to \infty} \frac{2}{x\sec^{2} \varepsilon} \\ &= \frac{2}{x} \end{align*}

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Win Vineeth Puntos 992

Prueba esto Sabemos que \lim_{x \to \ 0} \texto{tan}(x)\Nsobre x = 1 Ahora, \text{cot}(\frac{x}{2^n}) = 2^n\over x Entonces la respuesta es 2\over x . Puedes usar la regla de L'Hopital pero se hace más difícil.

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Bernard Puntos 34415

Es mucho más sencillo reescribirlo como \;2^{n-1}\dfrac{1}{\tan\dfrac{x}{2^n}} y utilizar equivalentes : \tan u\sim_0 u,\quad\text{hence}\quad \frac{1}{2^{n-1}}\cot\Bigl(\frac{x}{2^n}\Bigr) \sim_\infty \frac{1}{2^{n-1}}\frac{1}{\dfrac{x}{2^n}}=\frac 2x.

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egreg Puntos 64348

También se puede calcular \lim_{t\to\infty}\frac{2}{t}\cot\frac{x}{t} porque si este límite existe, también su secuencia converge en el mismo límite que \lim_{n\to\infty}2^n=\infty .

Ahora puede utilizar las sustituciones con más libertad: utilice u=x/t , por lo que se obtiene (para x>0 ) \lim_{t\to0^+}\frac{2}{x}\frac{u}{\tan u}=\frac{2}{x} Para x<0 el límite es para t\to0^- pero el valor final es el mismo.

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