¿Cómo resolver analíticamente o simplificar este sistema acoplado de EDOs?

Question

Tengo un sistema acoplado de EDOs:

$$\cases{ i\frac{\text{d}y_1}{\text{d}t}=A f(t)y_2(t)+E_1 y_1(t)\\ i\frac{\text{d}y_2}{\text{d}t}=A f(t)y_1(t)+E_2 y_2(t) }\tag1$$

Aquí $f(t)$ es una función periódica con frecuencia $\omega$ .

Se trata de un sistema de ecuaciones que gobierna la población de niveles de energía en un sistema de dos niveles bajo la perturbación de $A f(t)$ . Aquí $E_1$ y $E_2$ son energías, $y_1$ y $y_2$ son amplitudes de probabilidad para los niveles 1 y 2 ( $|y_1|^2+|y_2|^2=1$ ). Para pequeñas amplitudes de perturbación $A$ , $|y_1|^2$ y $|y_2|^2$ suben y bajan casi periódicamente con la frecuencia $\nu=\sqrt{A^2+(\lambda-\omega)^2}$ que se conoce como frecuencia Rabi generalizada (aquí $\lambda=E_2-E_1$ ). Pero no cambian realmente de forma periódica - algo altamente oscilante a frecuencia de $\omega$ los perturba. Para mayores $A$ estas soluciones ya no se parecen a ningún ciclo Rabi.

He probado a poner $y_1(t)=p(t)e^{-i E_1 t}$ , $y_1(t)=q(t)e^{-i E_2 t}$ de manera que para $A=0$ el resultado fue como para los estados estacionarios: $p(t)=q(t)=1$ . Ahora el sistema se transforma en algo más simétrico y que muestra más explícitamente la independencia del sistema de $E_1+E_2$ aquí $E_2-E_1$ se denota por $\lambda$ :

$$\cases{ i\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=f(t)e^{-i\lambda t}q(t)\\ i\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=f(t)e^{i\lambda t}p(t) \tag2 }$$

Luego he intentado desacoplar este sistema para obtener las siguientes ecuaciones independientes:

$$q(t)=i\frac{e^{i\lambda t}}{f(t)}\frac{\text{d}p}{\text{d}t} \tag3$$ $$-\frac{e^{-i\lambda t}}{f(t)}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{e^{i\lambda t}}{f(t)}\frac{\text{d}p}{\text{d}t}\right)=p(t) \tag4$$

He resuelto con éxito numéricamente el sistema $(1)$ e incluso tomando semi-analíticamente $f(t)$ como constante a trozos, y luego tomando trozos para tener una longitud muy pequeña, y esto me dio resultados cercanos a la solución numérica, pero esto todavía no da una buena comprensión de la forma analítica de la solución.

Estos son ejemplos del aspecto de las soluciones ( $|y_1|^2$ , $\Re y_1 \& \Im y_1$ , $\Re y_2 \& \Im y_2$ ):

Mi pregunta es: ¿hay alguna forma de simplificar aún más este problema, por ejemplo, extrayendo esa parte del ciclo (cuasi)periódico de Rabi? Estoy pensando en algún análogo del teorema de Bloch, pero no veo exactamente cómo hacerlo.

O mejor aún, ¿quizás esto pueda resolverse de forma completamente analítica? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

Estos sistemas de ecuaciones como

$$\mathbf x'(t)=\mathbf A(t)\mathbf x(t),\tag I$$

donde $\mathbf A(t)$ es una matriz periódica con periodo $T$ puede describirse mediante Teoría de Floquet . Esto no permitirá resolver el sistema analíticamente, pero al menos dará una idea de la estructura de las soluciones, así como permitirá evitar la necesidad de integrar numéricamente las EDOs para $t>T$ .

Estructura de cualquier solución fundamental (es decir, conjunto completo de soluciones de vectores columna linealmente independientes) $\mathbf X(t)$ del sistema $(\mathrm I)$ es

$$\mathbf X(t)=\mathbf P(t)\exp(\mathbf Ct),\tag{II}$$

donde $\mathbf P(t)$ es un $T$ -función matricial periódica, $\mathbf C$ es una constante matricial definida por

$$\exp(\mathbf CT)=\mathbf X(0)^{-1}\mathbf X(T).\tag{III}$$

Valores propios $\mu_i$ de la matriz $\mathbf C$ se llaman exponentes característicos de la ecuación, y los valores $\rho_i=e^{\mu_i T}$ se conocen como multiplicadores característicos .

Cualquier vector de solución general $\mathbf x(t)$ puede representarse de la forma

$$\mathbf x(t)=\sum\limits_{i=1}^N a_i e^{\mu_i t}\mathbf p_i(t),\tag{IV}$$

donde $\mathbf p_i(t)$ son $T$ -funciones vectoriales periódicas.

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Ahora a nuestro sistema particular $(1)$ . Se puede formular en forma de matriz con

$$\mathbf x(t)=\pmatrix{y_1(t)\\ y_2(t)},\tag{V}$$

$$\mathbf A=\pmatrix{ -iE_1 & -iAf(t)\\ -iAf(t) &-iE_2}. \tag{VI}$$

Teniendo algunos valores iniciales para nuestro sistema de ecuaciones, podemos elegir algún conjunto adicional, linealmente independiente del original, de valores iniciales para formar el valor inicial de la matriz de solución fundamental $\mathbf X(0)$ y resolver (numéricamente) el sistema para obtener $\mathbf X(t)$ para $t\in[0,T]$ . Entonces podemos calcular los exponentes característicos $\mu_1$ y $\mu_2$ utilizando $\mathbf X(0)$ y $\mathbf X(T)$ como se indica en $(\mathrm{III})$ . No son únicos debido a las propiedades del logaritmo complejo, pero eso no es un problema: podemos elegir cualquier rama.

Ahora, como el vector solución general puede representarse como

$$\mathbf x(t)=a_1 e^{\mu_1 t}\mathbf p_1(t)+a_2 e^{\mu_2 t}\mathbf p_2(t), \tag{VII}$$

podemos encontrar, por ejemplo $\mathbf p_2$ utilizando lo siguiente:

$$\begin{align} \mathbf x(t+T)&=a_1 e^{\mu_1 (t+T)}\mathbf p_1(t+T)+a_2 e^{\mu_2 (t+T)}\mathbf p_2(t+T)=\\ &=a_1 e^{\mu_1 (t+T)}\mathbf p_1(t)+a_2 e^{\mu_2 (t+T)}\mathbf p_2(t). \end{align} \tag{VIII}$$

Así que

$$a_2\mathbf p_2(t)=\frac{\mathbf x(t+T)e^{-\mu_1(t+T)}-\mathbf x(t)e^{-\mu_1 t}}{\exp\left((\mu_2-\mu_1)(t+T)\right)-\exp\left((\mu_2-\mu_1)t\right)}. \tag{IX}$$

Entonces, sabiendo $a_2\mathbf p_2(t)$ podemos encontrar fácilmente $a_1\mathbf p_1(t)$ . Ahora, usando $(\mathrm {VII})$ y las funciones obtenidas, podemos calcular fácilmente nuestra solución para cualquier $t\in\mathbb R$ .