Encontrar el cierre de un conjunto convexo en $C([0,1],\mathbb{R})$ .

Question

No sé muy bien cómo enfocar el siguiente ejercicio.

Considere en $C([0,1],\mathbb{R})$ las funciones

$$ f_r(x):= \begin{cases} 0 &&0\le x \le r,\\ \frac{x-r}{1-r} &&r < x \le 1,\\ \end{cases} $$ con $r \in [0,1]$ . Demostrar que el cierre del casco convexo de $\{f_r \ | \ r \in [0,1] \}$ en $C([0,1],\mathbb{R})$ es el conjunto de las funciones convexas, crecientes, tales que $f(0)=0$ y $f(1)=1$ .

Answer 1

En primer lugar, demuestre que el conjunto descrito (funciones convexas tales que...) es un subconjunto convexo cerrado del espacio.

En segundo lugar, demuestre que todas las funciones lineales a trozos con las propiedades descritas están en el casco convexo de $\{f_r\mid r\}$ (por ejemplo, por inducción con respecto al número de piezas), y luego demostrar que las funciones lineales a trozos son densas.