Multiplicadores de Lagrange - difícil

Question

Conjunto dado $D=\{x\in\mathbb{R}^2:x_1^2+44x_2^2\le5\}$ y la función $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ nos ha dado $f(x)=13x_1-22x_2$ . Tengo que encontrar el supremum y el infimum de $f$ y decir si son alcanzados por $f$ en $D$ y en cualquier punto interior de D. Cuando nos centramos sólo en $D'=\{x\in\mathbb{R}^2:x_1^2+44x_2^2=5\}$ podemos utilizar multiplicadores de Lagrange, pero el problema original es mucho más difícil. ¿Cómo resolverlo?

Answer 1

La teoría de la optimización con restricciones de desigualdad está muy bien desarrollada (especialmente para problemas convexos como el suyo). Sin embargo, puedes resolver tu problema particular con la siguiente observación elemental: todo extremo de $f$ es

1. en el conjunto activo $\partial D$ (que dices que sabes resolver), o
2. en el interior del conjunto factible.

¿Ves por qué $f$ no puede tener extremos en el interior de $D$ ?

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Aquí hay un poco más de explicación. Supongamos que se trata de resolver

$$\min_x f(x)\quad \textrm{s.t.}\quad g(x) \geq 0.$$

Una solución (local) a este problema de optimización debe ser de uno de los dos tipos siguientes:

1. Un punto crítico de $f$ dentro de la región factible, es decir $$\nabla f = 0, \quad g > 0.$$
2. Un punto en la frontera de la región factible, pero donde la función $f$ no puede disminuir más sin salir de la región factible porque su gradiente negativo apunta directamente de la región factible. Dado que $\nabla g$ es perpendicular a los conjuntos de niveles de $g$ una forma conveniente de codificar esta condición -- que $f$ es perpendicular a la frontera -- es que $\nabla f = \lambda \nabla g$ para algunos $\lambda \geq 0$ . En otras palabras, las condiciones para que este caso sea cierto son que $$g = 0, \quad \nabla f = \lambda \nabla g, \quad \lambda \geq 0$$ para algunos $\lambda.$

Por último, observe que ambas condiciones pueden ser codificadas simultáneamente por el problema variacional $$\underset{x, \lambda}{\operatorname{ext}} f(x) - \lambda g(x) \quad \textrm{s.t.} \quad \lambda \geq 0,$$ y esto es la extensión del método de los multiplicadores de Lagrange a las restricciones de desigualdad. Sin embargo, el problema variacional simplemente codifica la misma información que en los dos casos analizados anteriormente; y en su caso es muy fácil tratar estos dos casos directamente. El método de los multiplicadores de Lagrange en la forma que he escrito arriba es sobre todo útil para problemas con números muy grandes $m$ de las restricciones, donde la comprobación directa de todas las $2^m$ posibles conjuntos activos es intratable.