Cómo resolver para $X$ dado $A = X + Y$ y $B = 1 + YX$ ?

Question

Así que tengo el siguiente sistema de ecuaciones:

$A = X + Y$

$B = 1 + YX$

Y me piden que resuelva $X$ y $Y$ . Mi pregunta es ¿cómo lo hago? Me han enseñado que primero debo intentar aislar $X$ y conseguirlo en términos de $A$ y $B$ . Así que mi intento fue el siguiente:

$A = X + Y$

$B = 1 + YX$

en

$-A = -X-Y$

$B = 1 + YX$

en

$-AX = -x^2-YX$

$B = 1 + YX$

por lo que añadir $-AX + B$ juntos consigo

$B-Ax=-x^2+1$

que no aísla $X$ en términos de $A$ y $B$ ya que todavía hay un $X$ en el lado izquierdo

Así que aquí es donde me quedo atascado. ¿Puede alguien ayudarme a resolver el álgebra necesaria? ¿Es mi forma de proceder completamente errónea? Tengo el mismo problema de aislar $Y$ . Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$X = A - Y$ y $Y = \frac{B - 1}{X}$ ( $X\neq 0$ ), entonces $X^2 - AX - B + 1 = 0$ . Resolviendo la ecuación cuadrática, se obtiene $X = \frac{A \pm \sqrt{A^2 + 4(B - 1)}}{2}$

Answer 2

Si está familiarizado Fórmulas de Vieta

$$\begin{cases}X+Y= A\\ XY=B-1\end{cases}$$

Entonces, Vieta nos da

$$t^2-At+(B-1)=0$$

donde $t_1=X,~t_2=Y.$

Answer 3

De la primera ecuación se obtiene que $Y=A-X$ . Ahora, de la segunda ecuación se obtiene que $$B=1+(A-X)X=1-AX+X^2.$$ Ahora, utiliza la fórmula cuadrática.

Answer 4

Si asumimos que $x=0$ no es una solución, podemos escribir $$x+y-a=0\iff x^2-ax+xy=x^2-ax+b-1=0.$$

Entonces

$$\left(x-\frac a2\right)^2=1-b+\frac{a^2}2$$

de la que se puede extraer $x$ ( $2$ soluciones).