La preimagen del subgrupo $H \subseteq G/N$ tiene orden $|H| \cdot |N|$

Question

El grupo finito $G$ tiene un subgrupo normal $N$, con $H$ un subgrupo de $G/N$.

$\varphi : G \rightarrow G/N$ representa el mapa natural $\varphi (g) = gN$.

Estoy tratando de demostrar que la preimagen de $H$ bajo $\varphi$ tiene orden $|H| \cdot |N|$.

De manera intuitiva, puedo entender esto, ya que $H$ contiene $|H|$ coclases, cada una de las cuales contiene $|N|$ elementos de G. Y parece que cada elemento que está en una de las coclases de H está en $\varphi^{-1} (H)$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para demostrar esto. Aquí está lo que he estado intentando:

Sea $a \in gN$ para algún $gN \in H$, es decir, sea $a$ un elemento en una de las coclases en $H$.

Entonces esto debería llevar de alguna manera a $aN = \varphi (a) \in H \Longrightarrow a \in \varphi^{-1}(H)$

Dado que todas las coclases son disjuntas, y hay un total de $|H| \cdot |N|$ elementos contenidos en las coclases en $H$, entonces esa sería la demostración.

Answer 1

Sea $H'=\varphi^{-1}[H]$ y observa $\ker(\varphi)=\varphi^{-1}[\{N\}]\subseteq H'$. Ahora, $\varphi|_{H'}$ es un epimorfismo de grupos de $H'$ a $H$ con $\ker(\varphi|_{H'})=H'\cap\ker(\varphi)=\ker(\varphi)=N$ y por lo tanto $$\frac{H'}{N}\approx H$$ lo que implica $\frac{|H'|}{|N|}=|H|$ y así $|H'|=|H||N|$.

Answer 2

Pista: dos coclases son o disjuntos o iguales, así que si $a\in gN$, ¿qué puedes decir sobre $aN$?

Answer 3

El mapa $\varphi$ es de $|N|$ a $1$, ya que el núcleo tiene orden $|N|$.

Entonces, dado que $\varphi(\varphi^{-1}(H))=H$, se sigue la conclusión.