¿Por qué puede cerrarse la intersección de infinitos conjuntos abiertos?

Question

Aprendí que la unión de conjuntos abiertos siempre está abierta y la intersección de un conjunto finito de conjuntos abiertos está abierta. Sin embargo, la intersección de un número infinito de conjuntos abiertos puede ser cerrada. Aparentemente, el siguiente ejemplo ilustra esto.

En $E^2$ que $X$ ser la infinita familia de discos abiertos concéntricos de radio $1 + 1/n$ para todos $n \in \mathbb {Z^+}$ . ¿Por qué es $X$ un conjunto cerrado? ¿No puedo crear un conjunto de límites para $X$ que encierra todos los elementos en el interior?

Answer 1

Cuando tomes la intersección tendrás el conjunto $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left(-1-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}\right)=[-1,1]$$ y éste está cerrado.

Esto da la idea de $$\bigcap_{n\in \mathbb{N}} \left\{ x \in \mathbb{R}^n \text{ such that } \|x\| < 1+\frac{1}{n} \right\}= \{ x\in \mathbb{R}^n \text{ such that } \|x\|\leq 1\}$$

Answer 2

Mira los radios de tus discos abiertos: son los números $1+\frac1n$ para $n\in\Bbb Z^+$ . Para que un punto $p$ para estar en la intersección de estos discos abiertos, su distancia al origen debe ser menor que $1+\frac1n$ para cada $n\in\Bbb Z^+$ . Pero el infimo de estos radios es $1$ por lo que la intersección es precisamente el disco cerrado $D=\{\langle x,y\rangle\in E^2:x^2+y^2\le 1\}$ . Y esto es un conjunto cerrado: si $p\notin D$ , dejemos que $r$ sea la distancia desde $p$ al origen. Entonces $p>1$ y el abierto $(p-1)$ -bola centrada en $p$ es disjunta de $D$ . Así, $E^2\setminus D$ está abierto, y $D$ debe estar cerrado.

Answer 3

$$\bigcap_{n\in\mathbb N}\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|\lt1+1/n\}=\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|\leqslant1\}$$ El conjunto del lado derecho es la bola unitaria cerrada. Su límite $\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|=1\}$ es la esfera unitaria.

Cada bola $\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|\lt1+1/n\}$ está abierta. La bola de la unidad cerrada $\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|\leqslant1\}$ es, bueno... cerrado. La esfera de la unidad $\{x\in\mathbb R^2\mid \|x\|=1\}$ está cerrado.

Answer 4

Nótese que en cualquier espacio métrico las bolas cerradas $\overline{B} ( x ; r ) = \{ y \in X : d ( x , y ) \leq r \}$ son conjuntos cerrados, y para $r < r^\prime$ tenemos $$B ( x ; r ) \subseteq \overline{B} ( x ; r ) \subseteq B ( x ; r^\prime ).$$

Así que cuando se habla de la intersección $$\bigcap_{n=1}^\infty B ( x ; 1 + \tfrac{1}{n} )$$ podemos intercalar estas bolas abiertas con bolas cerradas: $$ \cdots \supseteq \overline{B} ( x ; 1 + \tfrac 1n ) \supseteq B ( x ; 1+\tfrac 1n ) \supseteq \overline{B} ( x ; 1 + \tfrac 1{n+1} ) \supseteq \cdots $$ y no es muy difícil ver que $$ \bigcap_{n=1}^\infty B ( x ; 1 + \tfrac 1n ) = \bigcap_{n=1}^\infty \overline{B} ( x ; 1 + \tfrac 1n )$$ y la expresión del lado derecho es una intersección de conjuntos cerrados, por lo que la intersección debe ser cerrada.

Answer 5

La intersección será la cerrado disco de radio $1$ es decir, que tiene su límite. Por supuesto, se puede eliminar el límite, y que está abierto, pero eso es otro conjunto.