Pregunta sobre una demostración de: Si $P$ es un $p$-grupo finito y $\langle 1\rangle\neq N\trianglelefteq P$, entonces $N\cap Z(P)\neq\langle 1\rangle$.

Question

Pregunta: Si $P$ es un $p$-grupo finito y $\langle 1\rangle\neq N\trianglelefteq P$, entonces $N\cap Z(P)\neq\langle 1\rangle$.

Tengo una pregunta sobre una demostración que vi en (creo que es el libro de Isaacs). Dice: Ya que $N$ es normal en $P$, $P$ actúa por conjugación en $N$ con un conjunto de puntos fijos en esta acción precisamente $N\cap Z(P)$. Así que $|N\cap Z(P)|=|N|$ mod $p$. Dado que $N$ es un grupo $p$ no trivial, $|N|=0$ mod $p$, por lo tanto $|N\cap Z(P)|=0$ mod $p$, de ahí el resultado.

¿Cómo sabemos que el conjunto de puntos fijos en la acción es PRECISAMENTE $N\cap Z(P)$?

Answer 1

Por definición, $x\in Z(P)$ si y solo si $x\in P$ es fijo por la acción de conjugación de $P$.

Answer 2

Esto lo sabemos porque $n\in N$ es un punto fijo de la conjugación por $P$ si y solo si $n\in N$ y $pnp^{-1}=n$ para todo $p\in P$, si y solo si $n\in N$ y $pn=np$ para todo $p\in P$, si y solo si $n\in N\cap Z(P)$.