Exponente complejo de los números complejos

Question

¿Cómo se encuentra la solución algebraica de un número complejo elevado a la potencia de otro número complejo?

Aquí está el trabajo que he hecho hasta ahora, si hay algún error por favor infórmame.

Un número real con un exponente complejo : $$A \in \Bbb R, \space z \in \Bbb C,\space z = x + iy$$ $$A^z = A^{x+iy} = A^xA^{iy}$$ $$\implies e^{iy\ln A} = A^{iy}$$ $$\exp(iy\ln A) = \cos (y\ln A)+i\sin(y\ln A)$$ $$A^z = A^x[\cos (y\ln A)+i\sin(y\ln A)]$$

Un número complejo con un exponente complejo : [Utilizando las variables anteriores] $$C \in \Bbb C,\space C = a +bi\space|\space re^{i\theta}, \theta =\arg C$$ $$C^z = (a+ib)^z$$ [Tras un error anterior las siguientes notas son inexactas] $$C^z = a^x[\cos (y\ln a)+i\sin(y\ln a)] + ib^xib^{iy}$$

Y hasta aquí podría llegar la expansión de $ib^xib^{iy}$ está siendo problemática. ¿Podría tener alguna ayuda con esta expansión?

Answer 1

¡Eres muy afortunado! La exponenciación de los números complejos implica una geometría muy bonita. Podríamos hacerlo mediante alguna manipulación algebraica con bastante facilidad, ¡pero es más interesante que intentemos ver lo que ocurre!

Empecemos por elevar un número complejo a una potencia real.

En tu pregunta, has intentado hacerlo distribuyendo la exponenciación sobre la suma: $(a+bi)^z \to a^z + bi^z$ ... Aunque esto nos haría las cosas más cómodas, la exponenciación, por desgracia, no funciona así. Por ejemplo: $(1+1)^2 = 4$ pero $1^2 + 1^2 = 2$ .

Recordemos que, para la multiplicación, a menudo es más fácil pensar en los números complejos en términos de argumento (ángulo respecto al eje real) y magnitud (distancia desde cero). En la siguiente imagen encantadora de Wikipedia, $\phi$ es el ángulo y $r$ es la magnitud.

Es decir, en lugar de escribir $z$ como $a+bi$ podemos escribirlo como $r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ . Desde $\cos(\theta) + i\sin(\theta)$ se mueve a lo largo del círculo unitario complejo, podemos obtener todos los valores. No lo demostraré aquí, ya que sería algo no trivial y lo has utilizado en tu pregunta, pero $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$ . Así que podemos escribir $$z = r*e^{i\theta}$$

La razón por la que esto es tan bueno para la multiplicación es que cuando multiplicamos, las magnitudes se suman y los argumentos se suman. Por ejemplo:

$$r_1e^{i\theta_1}*r_2e^{i\theta_2} = r_1*r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$$

(Esto se deduce algebraicamente, además de ser una reafirmación de lo que dije antes. Así que, si aceptas la fórmula de Euler, esto verifica mis afirmaciones sobre los argumentos que se suman en la multiplicación).

Cuando exponetimos a un número natural, estamos multiplicando algo por sí mismo, varias veces, por lo que la magnitud se exponentiza y el argumento escala.

$$(re^{i\theta})^n = r^n * e^{in\theta}$$

(Se puede verificar esto algebraicamente, y notar que para ello, $n$ puede ser lo que quieras)

En su libro, Análisis visual de complejos Needham da una muy bella visualización de la geometría de esto:

(Tenga en cuenta que este es un extracto de su libro utilizado bajo uso justo).

(En realidad, Needham ofrece un montón de visualizaciones impresionantes como ésta, y yo animaría a la gente a mirar el libro. Es una obra increíble de exposición matemática).

Fíjate en cómo el argumento escala a medida que aumentamos la potencia, ¡y la magnitud se exponentiza!

Otra forma de verlo es utilizando los colores. Asignamos cada número complejo a un color, siendo el tono el argumento y el brillo la magnitud. En este ejemplo, cuadramos:

Fíjate en que el argumento (matiz) se desplaza dos veces más rápido en la imagen a medida que la recorremos, porque cambia dos veces más rápido (al estar multiplicado por 2).

¡Elevación a una potencia compleja!

Empecemos por ver una visualización de lo que ocurre cuando elevamos a potencias en el círculo unitario complejo. La versión adecuada está animada, y puedes verla aquí pero como no puedo incrustar un GIF, aquí hay una imagen fija:

¡El argumento y la magnitud cambian de lugar! ¡Debe ocurrir algo realmente interesante!

Un poco de manipulación algebraica puede darnos mucha información. En primer lugar, observemos que podemos representar $re^{i\theta}$ como $e^{\ln(r) + i\theta}$ en su lugar. Entonces:

$$(e^{\ln(r) + i\theta})^{a+bi} = e^{(\ln(r) + i\theta)(a+bi)}$$

Si sólo elevamos a la potencia de $i$ obtenemos:

$$(e^{\ln(r) + i\theta})^{i} = e^{i\ln(r) -\theta} = e^{-\theta}*e^{i\ln(r)}$$

Cambiando el argumento y el radio (módulo), ¡como vimos en la animación!

¿Pero cuál es la respuesta?

Bueno, si realmente queremos, podemos ampliar completamente las cosas algebraicamente:

$$(e^{\ln(r) + i\theta})^{a+bi} = e^{(\ln(r) + i\theta)(a+bi)}$$

$$e^{(\ln(r) + i\theta)(a+bi)} = e^{\ln(r)a + ib\ln(r) + ia\theta - b\theta}$$

$$e^{\ln(r)a + ib\ln(r) + ia\theta - b\theta} = e^{\ln(r)a- b\theta} * e^{i(b\ln(r) + a\theta) }$$

Pero creo que aprendemos mucho más del trabajo anterior.

Answer 2

Hay un error en $C^z=a^z+ib^z$ debe decir $C^z=(a+ib)^z$ como he señalado en los comentarios. De todos modos, es mucho mejor hacer el cálculo en forma polar. En general, cuando se trata de potencias, la forma polar es más adecuada.

Teniendo esto en cuenta, observe que si $C=re^{i\theta}$ tenemos $$C^z=\bigl(re^{i\theta}\bigr)^z=r^ze^{iz\,\theta}=r^ze^{i(x+iy)\,\theta}=r^ze^{-y\,\theta}e^{ix\,\theta}$$ Ya que has trabajado $r^z$ antes, ¡hemos terminado!