Extraña prueba de teoría de números, se solicita ayuda

Question

Dejemos que $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ . Demostrar que $\prod_{0\leq k<n}F_{k}=F_{n}-2$ y, por tanto, que $(F_{m},F_{n})=1$ para $m\neq n$

Según tengo entendido, tengo que utilizar la inducción en $n$ para demostrar la parte de la igualdad. Si entiendo bien, entonces mi caso base es el siguiente:

$$LHS: 2^{2^{0}}+1=2+1=3.\text{ } RHS: 2^{2^{1}}-1=4-1=3$$

Pero no entiendo cómo mostrar el hecho de que $(F_m,5)=1$ para la base, y los siguientes pasos inductivos...

Answer 1

Para el paso de la inducción, observe que $$F_{n+1}-2=2^{2^{n+1}}-1=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)=(F_n-2) F_n.\tag{1}$$ La factorización $2^{2^{n+1}}-1=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)$ proviene del hecho de que $2^{2^{n+1}}=2^{2\cdot 2^n}=(2^{2^n})^2$ .

Utilizando (1) y la hipótesis de inducción, tenemos $$F_{n+1}-2=(F_n-2)F_n=\left(\prod_{k\lt n}F_k\right)F_n=\prod_{k\lt n+1}F_k.$$ Esto completa la prueba del paso de inducción.

Para el resultado de la primalidad relativa, utilice la identidad $$F_n-2=\prod_{k\lt n}F_k$$ para demostrar que si $m\lt n$ entonces cualquier divisor de $F_m$ y $F_n$ divide ambos $F_{n}-2$ y $F_n$ , por lo que se divide $2$ . Pero si $n\gt 0$ entonces $F_n$ es impar.