Estoy trabajando un poco con las álgebras de Heyting (que son latas distributivas pseudocomplementadas, ¿no?) y tengo una pregunta sobre las leyes de DeMorgan. Sé que, en general, no es el caso que $-(X \wedge Y) = -X \vee -Y$ en un álgebra de Heyting. Sin embargo, también se da el caso de que, si $-X \vee --X = 1$ en tal álgebra, entonces las dos leyes de DeMorgan se mantienen, ¿no? Además, también sabemos que es posible interpretar las álgebras de Heyting como topologías dadas, ya que una topología será generalmente una red distributiva pseudocomplementada. Tomemos entonces la topología habitual (llamémosla $\mathcal{T}$ ) en la línea real. Definir, para $O \in \mathcal{T}$ , $-O = \mathrm{int}(\mathbb{R}\setminus O)$ . Join se toma como unión y meet como intersección. Parece entonces que la ley de DeMorgan expuesta anteriormente no se cumple: si se consideran los intervalos $(0, 1)$ y $(2, 3)$ tenemos
$-((0, 1) \wedge (2, 3)) = \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus ((0, 1) \cap (2, 3)))\\ = \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus \varnothing)\\ = \mathrm{int}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ .
Por otro lado:
$-(0, 1) \vee -(2,3) = \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus (0, 1)) \cup \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus (2,3))\\ = \mathrm{int}((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) \cup \mathrm{int}((-\infty, 2] \cup [3, \infty))\\ = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)) \cup ((-\infty, 2) \cup (3, \infty))\\ = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ ,
que no es igual a $\mathbb{R}$ (falta el intervalo $[0, 1]$ ).
Pero entonces, considere de nuevo un conjunto tal que $U \in \mathcal{T}$ . Por las definiciones anteriores, se deduce que $-U \vee --U = \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup \mathrm{int}\bar{U}$ . Sabemos que $U \subseteq \mathrm{int}\bar{U}$ por lo que se deduce que $\mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup U \subseteq \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup \mathrm{int}\bar{U}$ . Sin embargo, a menos que me equivoque (y es muy posible que así sea, aún no he intentado probarlo), $\mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup U = \mathbb{R}$ . Así que $\mathbb{R} \subseteq \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup \mathrm{int}\bar{U}$ De ahí que $\mathbb{R} = \mathrm{int}(\mathbb{R} \setminus U) \cup \mathrm{int}\bar{U}$ . Así que $-U \vee --U = 1$ .
Por lo tanto, tenemos un ejemplo de una red distributiva pseudocomplementada en la que ambos La ley de DeMorgan no se sostiene y para cada $U \in \mathcal{T}$ , $-U \vee --U = 1$ . Obviamente, debo haberme equivocado en alguna parte, pero no sé exactamente dónde. ¿Pueden ayudarme a localizar el origen de mi error?
