¿Convergen $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+(x\sin5x)^2}$?

Question

Me gustaría su ayuda para decidir si el siguiente integral converge o no:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+(x\sin5x)^2}.$$

Traté de comparar con otras funciones y para cambiar las variables, pero no funcionó para mí.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Idea básica: cerca de $x_k = {2\pi k \over 5}$ el integrando es comparable a ${1 \over 1 + 25x_k^2(x - x_k)^2}$. Así se integra a un término de magnitud $O({1 \over x_k})$. Sumar sobre todas las $k$ y la integral diverge.

Answer 2

Parece no converge. Se puede argumentar como sigue. Dividir la integral en pedazos:

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+ (x\sin 5x)^2} \geq \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi/5}^{(k+1/2)\pi/5} \frac{dx}{1 + (x\sin 5x)^2}. $$

$k\pi/5 \leq x \leq (k+1/2)\pi/5$, Tenga en cuenta que

$$ \frac{1}{1+(x\sin 5x)^2} \geq \frac{1}{1+25x^2(x-k\pi/5)^2} \geq \frac{1}{1+ (k+1/2)^2\pi^2(x-k\pi/5)^2}.$$

Se sigue que

$$\int_{k\pi/5}^{(k+1/2)\pi/5} \frac{dx}{1 + (x\sin 5x)^2} \geq \int_{k\pi/5}^{(k+1/2)\pi/5} \frac{dx}{1+ (k+1/2)^2\pi^2(x-k\pi/5)^2} = \frac{\arctan((k+1/2)\pi^2/10)}{(k+1/2)\pi}.$$

Sustituyendo esto en la suma anterior encontramos que diverge la suma y por lo tanto la integral también.

Answer 3

Considerar el % de intervalos $I_k=[(k-\frac{1}{2})\frac{\pi}{5},(k+\frac{1}{2})\frac{\pi}{5}]$. $I_k$ Son los períodos de $\sin^2(5x)$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_{I_k}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2\sin^2(5x)} &\ge\left|\int_{I_k}\frac{\cos(5x)\;\mathrm{d}x}{1+(k+\frac{1}{2})^2\pi^2/25\;\sin^2(5x)}\right|\\ &=\frac{1}{(k+\frac{1}{2})\pi}\int_{-1}^1\frac{(k+\frac{1}{2})\pi/5\;\mathrm{d}t}{1+(k+\frac{1}{2})^2\pi^2/25\;t^2}\\ &=\frac{2}{(k+\frac{1}{2})\pi}\tan^{-1}\left(\frac{(k+\frac{1}{2})\pi}{5}\right) \end {Alinee el} $$ Desde $\tan^{-1}\left(\frac{(k+\frac{1}{2})\pi}{5}\right)>\frac{\pi}{4}$ $k>1$, la integral en $I_k$ es mayor que $\frac{1}{2k+1}$. Por lo tanto, la integral diverge.