Árboles en complejos de cadenas

Question

$\DeclareMathOperator{\Ch}{\mathit{Ch}}$ Dejemos que $\Ch_\mathbb{Q}$ denotan la categoría modelo de complejos de cadenas sobre números racionales. Sea $T_\ast$ sea un árbol en $\Ch_{\mathbb{Q}}$ con $n$ vértices.

¿Cómo clasificar los árboles con respecto a las equivalencias débiles, es decir, las homotopías en cadena? ¿Es cierto que la clasificación se puede recuperar a partir de la $\mathit{ho}(\Ch_{\mathbb{Q}})$ ?

Creo que el factor clave es que cualquier complejo de cadenas $C_\ast\cong \oplus_n V\langle n\rangle_\ast$ Aquí $V\langle n\rangle_\ast$ es el complejo de cadenas concentrado en grado $n$ y $V\langle n\rangle_n= H_n(C_\ast)$

Por ejemplo, si tomamos un camino de longitud 2, $f_\ast : C_\ast \to C_\ast'$ entonces es equivalente a los mapas $H_n(f_\ast): H_n(C_\ast) \to H_n(C_\ast')$ que son mapas entre espacios vectoriales. Sabemos que cualquier mapa entre espacios vectoriales está completamente descrito por la dim(Ker). En este caso, cualquier camino de longitud 2 está completamente descrito por $\dim(\mathrm{ker}(H_n(f_\ast)))_n$ .

Realmente aprecio si alguien puede decir algo por los árboles.

Answer 1

¿Es cierto que la clasificación se puede recuperar a partir de la ho(ChQ)?

Sí, el functor canónico Ho(Fun(T,M))→Fun(T,Ho(M)) induce una biyección sobre las clases de isomorfismo si T es un árbol y M es la categoría relativa de los complejos racionales de cadena.

La inclusión canónica ι de la categoría relativa de los espacios vectoriales racionales graduados y los isomorfismos en la categoría relativa de los complejos racionales de cadena y los cuasi-isomorfismos dados al equipar los espacios vectoriales racionales graduados con un diferencial cero preserva las equivalencias débiles. El functor H en sentido contrario computa la homología, también preserva las equivalencias débiles.

Estos hechos se pueden utilizar para establecer la biyección anterior de la siguiente manera.

Para la subjetividad, tome cualquier functor hF: T→Ho(M) y construya F: T→M como sigue. En los objetos, F(X)=hF(X). Sobre los morfismos, elija una elevación de hF(e) a lo largo de M→Ho(M) para cada arista e del árbol. Los valores de F sobre otros morfismos de T están ahora determinados de forma única porque cualquier morfismo de T es una composición de una secuencia única de aristas. Reemplazamos bifurcadamente el diagrama resultante en la estructura proyectiva (respectivamente inyectiva) del modelo en los funtores T→M, dependiendo de la forma en que crezca el árbol T.

Los diagramas F y ιHF son débilmente equivalentes. Si T tiene un solo objeto, esto se establece eligiendo separaciones no canónicas C_n = B'_n ⊕ H_n ⊕ B_n. Si T tiene más de un objeto, construimos dicha equivalencia débil por inducción en el árbol, empezando por la raíz y procediendo a las hojas. En cada paso, elegimos la división C_n = B'_n ⊕ H_n ⊕ B_n de manera que sea compatible con el mapa dado H_n(q)→H_n(p) (respectivamente H_n(p)→H_n(q)), donde q es el padre de p en el árbol.

Para la inyectividad, supongamos que F,G: T→M son bifibrantes. Tenemos que demostrar que cualquier isomorfismo natural t: H(F)→H(G) puede ser promovido a un cuasi-isomorfismo natural F→G. Esto se hace a la manera del párrafo anterior: empezar por la raíz y proceder inductivamente a las hojas. Los mapas de transición F(q)→F(p) y G(q)→G(p) son inyecciones, por lo que siempre podemos elegir un cuasi-isomorfismo compatible.

Como se ha señalado en los comentarios, el hecho anterior se mantiene en un general: el functor canónico Ho(Fun(T,M))→Fun(T,Ho(M)) es esencialmente suryente, completo y conservador para cualquier categoría de modelos M y árbol T. Véase la Proposición 2.15 y 2.20 en Categorías de derivados por Denis-Charles Cisinski.

Answer 2

Dejemos que $T$ sea un poset bien fundado y $k$ un campo. Sea $H: Ch_k \to Ho(Ch_k) = Gr_k$ sea el functor de homología y $\iota: Gr_k \to Ch_k$ sea la sección canónica que envía un espacio vectorial graduado al correspondiente complejo de cadena con diferencial cero.

Propuesta 1: Para cualquier $F: T \to Ch_k$ , $F$ y $\iota H(F)$ son cuasi-isomorfos.

En particular, si $H(F) \cong H(G)$ entonces $F \simeq \iota H(F) \cong \iota H(G) \simeq G$ .

Prueba: En el modelo Reedy = estructura inyectiva en $Fun(T,Ch_k)$ Las fibrillas y las equivalencias débiles son de nivel, y un objeto es cofibrante (y por tanto bifibrante) si y sólo si cada morfismo de $T$ se lleva a un monomorfismo. Podemos suponer que $F \in Fun(T,Ch_k)$ es cofibrante y demostrar la afirmación más específica de que existe un cuasi-isomorfismo $F \to \iota H(F)$ . Por inducción en la estructura de $T$ nos vemos reducidos a lo siguiente:

Lema 2: Dejemos que $X \to Y$ sea un monomorfismo en $Ch_k$ . Si $X \to \iota H(X)$ es un cuasi-isomorfismo, entonces existe un cuasi-isomorfismo $Y \to \iota H(Y)$ formando un cuadrado conmutativo.

Prueba: Podemos descomponer $X \to Y$ en una serie de anexos de celdas, y construir el mapa $Y \to \iota H(Y)$ por inducción, una célula a la vez. Hay dos casos. En el primer caso tenemos $Y = X \oplus k[n]$ en cuyo caso tenemos $H(Y) = H(X) \oplus k[n]$ y ampliamos utilizando la identidad en $k[n]$ . En el segundo caso tenemos $Y = X \cup_z w$ donde $z$ es un ciclo que representa una clase homológica no nula de $X$ y $w$ es una célula que estamos adjuntando para matarla. En este caso tenemos $H(Y) = H(X)/v$ y podemos extender a través del mapa cero en $w$ .

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Añadido en respuesta al comentario: Cabe destacar que, aunque la proposición sólo se aplica directamente a los diagramas en forma de árbol, podemos aprovecharla para entender ciertos diagramas más complicados. Por ejemplo:

Dejemos que $\mathcal C$ ser la "categoría marcada" $$\require{AMScd} \begin{CD} a @>>> b\\ @VVV @VVV\\ 0 @>>> c \end{CD}$$

con el entendimiento de que $Fun(\mathcal C,Ch_k)$ significa funtores $\mathcal C \to Ch_k$ llevando $0$ a un complejo de cadenas acíclicas. Entonces $Fun(\mathcal C,Ch_k)$ con modelos de equivalencias débiles a nivel "mapas $A \xrightarrow f B \xrightarrow g C$ equipado con una homotecia nula de $gf$ ".

Lema 3: Si $\mathcal D$ es/presenta una estabilidad $\infty$ -entonces el $\infty$ -categoría (presentada por) $Fun(\mathcal C, \mathcal D)$ equivale a la $\infty$ -categoría (presentada por) $Fun(T,\mathcal D)$ donde $T$ es el árbol $D \leftarrow F \to B$ .

Prueba: Considere el siguiente diagrama, donde las filas y las columnas son secuencias de fibras:

$$\require{AMScd} \begin{CD} A @>>> F @>>> D \\ @V{=}VV @VVV @VVV \\ A @>>> B @>>> Q \\ @VVV @VVV @VVV \\ 0 @>>> C @>{=}>> C \end{CD}$$

El diagrama puede reconstruirse de forma única a partir del cuadrado inferior izquierdo, o del cuadrado superior derecho con el requisito de que sea un cuadrado exacto, o de la parte $D \leftarrow F \to B$ no está sujeto a ningún requisito.

Propuesta 4: En $Fun(\mathcal C, Ch_k)$ un diagrama es cuasi-isomorfo a su homología. En consecuencia, si las homologías de dos de estos diagramas son isomorfas, entonces los diagramas son cuasi-isomorfos.

Prueba: Por la Proposición 1, esto es cierto para $Fun(T,Ch_k)$ . Comienza con un modelo del cuadrado superior derecho tal que $F \to D$ , $F \to B$ y $B \oplus D \to Q$ son monomorfismos. Por la Proposición 1, tenemos un cuadrado conmutativo de cuasi-isomorfismos de $F \to D \oplus B$ al correspondiente mapa de homologías. Por el Lemma 2, podemos extender esto a un cuasi-isomorfismo de $Q$ a su homología, de forma natural. Pensamos en esto como una transformación natural desde el cuadrado superior derecho de la cuadrícula anterior a la cuadrícula correspondiente de homologías, y buscamos llenar los componentes restantes de una transformación natural entre cuadrículas.

Desde $D \to Q$ es un monomorfismo, podemos utilizar de nuevo el Lemma 2 para extender esta familia natural de cuasi-isomorfismos a $C$ y, por tanto, al cuadrado inferior derecho. Modelado $A$ por el cono de mapeo dual de $F \to D$ obtenemos un modelo de $A \to F$ que es épica. Por el dual del Lemma 2, podemos extender nuestra familia natural de cuasi-isomorfismos a $A$ y, por tanto, al cuadrado superior izquierdo. Para modelar el cuadrado inferior derecho, tome una factorización arbitraria a través de un complejo acíclico, que viene con un único cuasi-isomorfismo a su homología. Los restantes cuadrados de naturalidad son necesariamente conmutables, y la naturalidad de los cuasi-isomorfismos del cuadrado inferior izquierdo es precisamente lo que buscamos.