Supongamos que $R$ es un anillo sin divisores cero y con identidad $1_R$ no es igual a $0_R$ . Supongamos que $a,b$ están en $R$ y que $ab$ es una unidad. Demostrar que $b$ es una unidad.
Mis pensamientos: Sé que una unidad es básicamente una unidad que (para este ejemplo) significaría $abu = 1_R$ para un número de veces que no es cero $u$ sur $R$ . Estoy realmente atascado después de eso. No veo un camino claro para manipular las variables para demostrar que b es una unidad por sí misma.
Como han señalado los demás, el cálculo $$ 1=u(ab)=(ua)b $$ muestra que $ua$ es un inverso a la izquierda de $b$ . Considere el producto $b(ua)$ . Tenemos $$ ua=1(ua)=((ua)b)(ua)=(ua)(b(ua)), $$ así que $$ (ua)(1-b(ua))=0. $$ Como el anillo no tiene divisores cero, esto implica que $ua=0$ o $b(ua)=1$ . Pero si $(ua)=0$ entonces $1=(ua)b=0$ que es una contradicción. La afirmación es la siguiente.
Como se ha dicho en los comentarios, ya que $ab$ es una unidad, entonces $uab = 1$ para algunos $u \in R$ Así que $ua$ es un inverso de la izquierda para $b$ . Queda por demostrar que $ua$ es también una inversa de la derecha para $b$ es decir, $bua = 1$ . Tomando la ecuación $1 = uab$ y multiplicando ambos lados por $ua$ a la derecha, tenemos $$ ua = uabua \implies 0 = ua - uabua = ua(1 - bua) \, . $$ Desde $R$ no tiene divisores cero, entonces $ua = 0$ o $1 - bua = 0$ . Pero de nuevo, $R$ no tiene divisores cero, por lo que debemos tener $1 - bua = 0$ Por lo tanto $1 = bua$ . Así, $ua$ es una inversa de dos lados para $b$ .
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