Conjunto infinito de condensadores e inductores

Question

Quizá conozca el sorprendente resultado que se obtiene al calcular el equivalente a un conjunto infinito de resistencias . ¿Y si cambiamos este circuito y sustituimos las resistencias por condensadores e inductores?

Siguiendo la notación dada en el enlace que he proporcionado anteriormente, vamos a sustituir $R_1$ con $C$ y $R_2$ con $L$ para que

$$R_1 \rightarrow Z_1=\frac{-j}{\omega C}$$ $$R_2 \rightarrow Z_2=j\omega L$$

donde $j$ es la unidad imaginaria. Utilizando de nuevo el resultado escrito en ese enlace, obtenemos la siguiente ecuación:

$$Z_{eq}^2-\frac{j}{\omega C}Z_{eq}-\frac{L}{C}=0$$

Resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos que

$$Z_{eq}=\frac{\frac{j}{\omega C}\pm\sqrt{\frac{-1}{\omega^2C^2}+4\frac{L}{C}}}{2}=\pm\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{1}{(2\omega C)^2}}+j\frac{1}{2\omega C}$$

Así que una matriz de ideal condensadores e inductores conducen a un complejo ( no imaginario ) impedancia equivalente si $L>\frac{1}{4C\omega^2}$ . Esto significa que, si el circuito se alimentara con una fuente, se disiparía potencia real, aunque cada una de las impedancias individuales sea puramente reactiva. ¿Qué sentido tiene esto?

Answer 1

Al principio pensé que acababas de redescubrir las ecuaciones del telegrafista - pero luego me di cuenta de que tenías tus condensadores e inductores "al revés" de ese escenario más habitual (descrito ici )

Aunque su situación es inusual, hay una manera de entender lo que está sucediendo. Los condensadores de tu red se están cargando, y aunque una parte de esa carga es transitoria, otra "dura para siempre" debido a la extensión infinita de la red. Esta carga de los condensadores significa que hay un mecanismo de almacenamiento de energía, y creo que eso es lo que dicen tus ecuaciones.

Esto es mucho más fácil de entender cuando se cambian los condensadores (para ser $R_2$ en su diagrama) y los inductores (para ser $R_1$ ). Cuando se hace eso, se termina con una expresión para la impedancia que tenderá a $Z=\sqrt{\frac{L}{C}}$ cuando se hace $L$ y $C$ infinitesimal conservando su relación (que es lo que ocurre cuando se considera que una línea de transmisión está formada por muchos pequeños inductores y condensadores).

Cuando se tiene una línea de transmisión ordinaria, se propaga un pulso y se almacena energía por unidad de longitud. El almacenamiento de energía es indistinguible de la disipación de energía (hasta que se produce una reflexión o algún otro mecanismo para extraer la energía de nuevo).