¿Cómo puede el gráfico de $\cos(\sin x)$ ¿se traza?

Question

¿Puede alguien comentar el procedimiento para dibujar y analizar gráficos como $\cos(\sin x)$ y $\sin(\cos x)$ ?

Answer 1

Considere por ejemplo $f(x) = \cos(\sin x))$ . Desde $\sin x$ es $2\pi$ -periódico, por lo que es $f$ y por eso hay que analizar $f$ sólo en el intervalo $[-\pi,\pi]$ . Desde $\sin$ es impar y $\cos$ es par, la función $f$ es par y así y basta con analizar $f$ sur $[0,\pi]$ .

Cuando $x \approx 0$ tenemos $\sin x \approx x$ por lo que la gráfica de $f$ se parece al gráfico de $\cos$ cerca de $x = 0$ . A continuación, observe que $\sin x$ es monótona creciente en $[0,\frac{\pi}{2}]$ asignando este intervalo a $[0,1]$ y $\cos$ es monótona decreciente en $[0,\pi]$ y en particular sobre $[0,1]$ y así $f$ es monótona decreciente en $[0,\frac{\pi}{2}]$ hasta llegar a $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(1)$ . Siguiente, $\sin x$ es monótona decreciente en $[\frac{\pi}{2},\pi]$ asignando este intervalo a $[0,1]$ en el que $\cos$ también es monótona decreciente, por lo que la composición $f$ es monótona creciente en $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ hasta llegar a $f(\pi) = 1$ . Así, obtenemos un gráfico con el siguiente aspecto (por cortesía de FooPlot ):

Por supuesto, podríamos haber realizado el análisis anterior utilizando el cálculo, pero como las funciones implicadas son tan sencillas, no hay necesidad de llegar a ese punto.