La congruencia de dos matrices particionadas

Question

Dos $(m+n)\times (m+n)$ matrices simétricas reales $X$ y $Y$ se puede dividir de la siguiente manera:

$X=\left( \begin{matrix} A_{n\times n} & O_{n\times m} \\ O_{m\times n} & C_{m\times m} \end{matrix} \right)$ y $Y=\left( \begin{matrix} B_{n\times n} & O_{n\times m} \\ O_{m\times n} & D_{m\times m} \end{matrix} \right)$ .

Me pregunto si $C$ es congruente con $D$ si sabemos $X$ es congruente con $Y$ et $A$ es congruente con $B$ . Muchas gracias.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es sí, y puede considerarse una consecuencia directa de Ley de inercia de Sylvester .

---

Una prueba directa podría ser la siguiente: dejemos que $P,Q$ sea tal que $P^TXP = Y$ y $Q^TAQ = B$ . De ello se desprende que $$\left[P \pmatrix{Q^{-1} & 0\\0 & I}\right]^T \pmatrix{A&0\\0&C} \left[P \pmatrix{Q^{-1} & 0\\0 & I}\right] = \pmatrix{A&0\\0&D}$$ Eso es, $\operatorname{diag}(A,C)$ es congruente con $\operatorname{diag}(A,D)$ . A partir de aquí, tendríamos que deducir que $C$ es congruente con $D$ .