Momento angular en coordenadas cilíndricas

Question

Cómo calcular el momento angular de una partícula en un sistema de coordenadas cilíndricas

$$x_1 = r \cos{\theta}$$ $$x_2 = r \sin{\theta}$$ $$x_3 = z$$

Gracias.

Answer 1

Supongo que estás buscando los operadores de deformación infinitesimal que generan rotaciones, como en la mecánica cuántica, así que, entonces, $\vec{p}\sim \nabla$ .

En ese caso, ya que $$ \vec{R}= z \hat z + r \hat r ,\\ \nabla = \hat z \partial_z + \hat r \partial_r + \hat \theta \frac{1}{r} \partial _\theta, $$

$$ \vec L = \vec{R} \times \nabla = (z \hat z + r \hat r ) \times \left ( \hat z \partial_z + \hat r \partial_r + \hat \theta \frac{1}{r} \partial _\theta \right ) \\ = \hat z \partial_\theta- \hat r \frac{z}{r} \partial_\theta +\hat \theta (z\partial_r -r\partial_z). $$ Confirmar limitando los casos z=0 , θ=0 etc.