Función que es continua en todas partes de su dominio, pero diferenciable sólo en un punto

Question

Soy nuevo en este foro. Mi pregunta: Supongamos una función de valor real $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en todas partes. ¿Es posible construir $f$ que es diferenciable en un solo punto? Si es posible, pon un ejemplo.

Nota: Sé que existe una función que es diferenciable en un solo punto pero discontinua en otros. También conozco la función de Weierstrass que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. Pero, ¿existe una función que sea continua pero sólo diferenciable en un punto?

De hecho, encontré esto debate pero lamentablemente sigue sin dar una respuesta definitiva. Además consideran sólo en un intervalo, mientras que mi problema es para todo el dominio. Muchas gracias

Answer 1

Ciertamente es posible. Fijar una función no diferenciable en ninguna parte $f$ tal que $0\leq f(x)\leq 1$ para todos $x$ . Ahora considere $x^2f(x)$ . Esto es diferenciable en $0$ pero en ningún otro lugar. Se puede comprobar que es diferenciable en $0$ utilizando la definición de límite de la derivada. $$\lim_{h\to 0} \frac{h^2f(h)-0^2f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}hf(h)$$ y $0\leq f(h)\leq 1$ implica $0\leq hf(h)\leq h$ . Así que el límite va a $0$ por el teorema del apretón.

Ver que no es diferenciable en otra parte es un ejercicio un poco más difícil. Supongamos que $x^2f(x)$ es diferenciable en $x\neq 0$ . Entonces $$\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2f(x+h)-x^2f(x)}{h}=L.$$ Sumar y restar un término mixto $x^2f(x+h)$ en el medio, esto se convierte en $$ \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2f(x+h)-x^2f(x+h)}{h}+\frac{x^2f(x+h)-x^2f(x)}{h}=L $$ El plazo de la izquierda se limita a $2x f(x).$ El término de la derecha limita a $x^2f'(x)$ . Esto implica que $f'(x)$ existe, ya que es igual a $x^{-2}(2xf(x)-L)$ . (Esto falla para $x=0$ .)