Integral: $\int_0^{\infty} \cos\left(\frac{a^2}{x^2}-b^2x^2\right)\,dx$ para $a,b>0$

Question

He probado esto: $$\int_0^{\infty} \cos\left(\frac{a^2}{x^2}-b^2x^2\right)\,dx=\Re\left(\int_0^{\infty} e^{-ib^2x^2+ia^2/x^2}\,dx\right)=\Re\left(\int_0^{\infty} e^{-\left(ib^2x^2+i^3a^2/x^2\right)}\,dx\right)$$ Hace algún tiempo, me topé con el siguiente resultado: $$\int_0^{\infty} e^{-\left(p^2x^2+m^2/x^2\right)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2p}e^{-2pm}$$ Sustitución de $p$ con $i^{1/2}b$ y $m$ con $i^{3/2}a$ me sale: $$\int_0^{\infty} \cos\left(\frac{a^2}{x^2}-b^2x^2\right)\,dx=\Re\left(\frac{1}{2b}\sqrt{\frac{\pi}{i}}e^{2ab}\right)$$ Pero se supone que esto es incorrecto y no veo dónde me he equivocado.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

(Sé que esto se puede hacer fácilmente utilizando la integración de contornos, pero me gustaría saber qué pasa con lo anterior)

Answer 1

La confusión surge del hecho de que estás asumiendo la fórmula $$\int_0^{\infty} e^{-\left(p^2x^2+m^2/x^2\right)}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2p}e^{-2pm} $$ es válido si $p^{2}$ es imaginario y positivo y $m^{2}$ es imaginario y negativo. Pero esa fórmula suele derivarse bajo la condición de que $p$ y $m$ son parámetros reales positivos.

Pero al integrar en el plano complejo, puedes ver cómo se relacionan las dos integrales.

Dejemos que $ \displaystyle f(z) = e^{i b^{2}z^{2}} e^{-ia^{2}/z^{2}}$ y se integra alrededor de una cuña/sector de radio $R$ que hace un ángulo de $ \frac{\pi}{4}$ con el eje real positivo y se indenta alrededor de la singularidad esencial en el origen.

A lo largo del arco de la cuña, $ \displaystyle |e^{-ia^{2}/z^{2}}|= |e^{-i a^{2}/(R^{2}e^{2it})}| =e^{-a^{2} \sin 2t/R^{2}} \le 1 $ desde $ \displaystyle 0 \le t \le \frac{\pi}{4}$ .

Por lo tanto,

$$\begin{align} \Big| \int_{0}^{\pi /4} f(Re^{it}) \ i Re^{it} \ dt \Big| &\le R \int_{0}^{\pi /4} e^{-b^{2} R^{2} \sin 2t} \ dt \\ &\le R \int_{0}^{\pi /4} e^{-b^{2} R^{2} \frac{4}{\pi} t } \ dt \ \ \text{(Jordan's inequality)} \\ &= \frac{\pi}{4} \frac{1}{b^{2}R} \Big( 1-e^{-b^{2}R^{2}}\Big) \to 0 \ \text{as} \ R \to \infty .\end{align}$$

Un argumento muy similar muestra que la integral también desaparece a lo largo de la hendidura del cuarto de círculo alrededor del origen cuando el radio del cuarto de círculo va a $0$ .

Por lo tanto, ya que $f(z)$ es analítica dentro y en el contorno,

$$ \int_{0}^{\infty} f(x) \ dx - \int_{0}^{\infty} f(te^{i \pi /4}) e^{i \pi /4} \ dt =0$$

lo que implica

$$ \begin{align}\int_{0}^{\infty}e^{i b^{2}x^{2}} e^{-ia^{2}/x^{2}} \ dx &= e^{i \pi /4} \int_{0}^{\infty} e^{-b^{2}t^{2}} e^{-a^{2}/t^{2}} \ dt \\ &= e^{i \pi /4} \frac{\sqrt{\pi}}{2b} e^{-2 ab}. \end{align}$$

Y equiparar las partes reales de ambos lados de la ecuación,

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \cos \left(b^{2}x^{2} -\frac{a^{2}}{x^{2}} \right) \ dx &= \int_{0}^{\infty} \cos \left(\frac{a^{2}}{x^{2}} - b^{2} x^{2} \right) \ dx \\ &= \frac{1}{2b} \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-2 ab} . \end{align}$$

Answer 2

Confirmo que, antes de cualquier simplificación, $$I=\int_0^{\infty} e^{i \left(\frac{a^2}{x^2}-b^2 x^2\right)} \, dx=\frac{\sqrt{\pi } e^{-\frac{2 \sqrt{i b^2}}{\sqrt{\frac{i}{a^2}}}}}{2 \sqrt{i b^2}}$$ en las condiciones que $\Im\left(b^2\right)<0\land \Im\left(a^2\right)>0$ .

Tras las simplificaciones $$J=\int_0^{\infty} \cos\left(\frac{a^2}{x^2}-b^2x^2\right)\,dx=\Re\left(\frac{1}{2b}\sqrt{\frac{\pi}{i}}e^{-2ab}\right)=\frac{1}{2b}\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-2ab}$$ que es su respuesta con un signo menos en el exponente.

He realizado comprobaciones numéricas y esto es correcto.