Problemas con una presentación en grupo

Question

Estoy tratando de probar que los elementos del grupo $\langle h_{0},h_{1} | h_{1}h_{0}h_{1}^{-1}=h_{0}^{2}\rangle$ puede expresarse de forma única como $h_{0}^{n}h_{1}^{m}$ para algunos $n$ , $m\in \mathbb{Z}$ . Para demostrarlo, sólo tengo que demostrar que $h_{1}h_{0}$ , $h_{1}^{-1}h_{0}$ , $h_{1}h_{0}^{-1}$ et $h_{1}^{-1}h_{0}^{-1}$ se puede escribir de esa manera. Sé que $h_{1}h_{0}=h_{0}^2h_{1}$ et $h_{1}h_{0}^{-1}=h_{0}^{-2}h_{1}$ pero no soy capaz de probar los otros dos casos. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

La respuesta es que no es posible. Utilicemos $a$ et $b$ para nuestros generadores de grupo, por lo que nuestro grupo es $$ G = \langle a,b \mid bab^{-1} = a^2\rangle. $$ Dejemos que $$ A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$ Es fácil comprobar que $BAB^{-1}=A^2$ por lo que existe un homomorfismo $\varphi\colon G\to \mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ satisfaciendo $\varphi(a)=A$ et $\varphi(b)=B$ .

Ahora, si $m$ et $n$ son números enteros, entonces $$ \varphi(a^mb^n) = A^mB^n = \begin{bmatrix}1 & m \\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2^n & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2^n & m \\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$ Sin embargo, $$ \varphi(b^{-1}a) = B^{-1}A = \begin{bmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1/2 & 1/2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}. $$ Desde $m=1/2$ no es un número entero, se deduce que $b^{-1}a$ no puede escribirse como $a^mb^n$ para cualquier $m,n\in\mathbb{Z}$ .

Answer 2

Utilizando $a$ et $b$ en lugar de $h_0$ et $h_1$ por razones obvias:

Tenemos el grupo $\langle a,b \mid bab^{-1} = a^2 \rangle$ .

Así que, $ba=a^2b$ .

Lo demostramos:

$$\begin{array}{lcl} 1 &=& a^0b^0 \\ a^m b^n a &=& a^{m+2^n}b^n \\ a^m b^n b &=& a^mb^{n+1} \\ a^m b^n a^{-1} &=& a^{m-2^n}b^n \\ a^m b^n b^{-1} &=& a^mb^{n-1} \end{array}$$

Es decir, la identidad es expresable en $a^xb^y$ y para cualquier palabra expresable, también lo es su producto correcto con $a$ con $b$ con $a^{-1}$ y con $b^{-1}$ .