Prueba de la convexidad de la función logarítmica

Question

Prueba eso: $\ln(e^{x+y} +1 )$

es una función convexa.

He intentado utilizar $F \circ G$ , mientras que

$F = \ln (t+1)$ et $G = e^{x+y}$

$G$ es convexo pero necesito demostrar que $F$ es convexo y creciente, lo que no entiendo. Gracias por cualquier tipo de ayuda o pista.

Answer 1

Dejemos que $f(x,y)=\log(e^{x+y}+1)$ . Entonces, tenemos

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{e^{x+y}}{e^{x+y}+1}=1-\frac{1}{e^{x+y}+1}$$

y

$$\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=\frac{e^{x+y}}{(e^{x+y}+1)^2}>0$$

Por tanto, como las segundas derivadas parciales no mixtas son positivas (sólo necesitamos que sean no negativas) y el determinante del hessiano es cero (de nuevo, sólo necesitamos que sea no negativo), entonces concluimos que $f$ es convexo.