Consistencia de un sistema de ecuaciones lineales

Question

Comprobar la consistencia del sistema de ecuaciones lineales

$$\begin{align} 4x-5y+z & =2 \\ 3x+y-2z& = 9 \\ x+4y+z& =5\end{align}$$

Answer 1

Tenemos el sistema de ecuaciones lineales dado por: $$\begin{align} 4x-5y+z & =2\\ \\ 3x+y-2z& = 9 \\ \\ x+4y+z& =5\end{align}$$

Este sistema puede ser representado por cualquiera de las siguientes matrices de coeficientes aumentadas:

$$\begin{pmatrix} 4 & -5 & 1 &\mid 2 \\ 3 & 1 & -2 &\mid 9 \\ 1 & 4 & 1 &\mid 5\end{pmatrix}\to \quad \text{Swap Row 1 with Row 3}\to \quad \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & \mid 5 \\ 3 & 1 & -2 & \mid 9 \\ 4 & -5 & 1 & \mid 2 \end{pmatrix}$$

En la segunda matriz, podemos seguir realizando operaciones elementales de fila para reducir la matriz (es decir, utilizando la eliminación gaussiana) con el fin de comprobar la coherencia. ¿Te suena esto?

Si reducimos la fila para obtener una fila, por ejemplo, de $(0 \; 0 \; 0 \; c)$ donde $c$ es distinto de cero, tenemos un inconsistente sistema. Si no, el sistema es consistente. Consistencia significa simplemente: ¿Pueden todas las ecuaciones ser simultáneamente verdaderas? Si es así, el sistema es consistente. Si no, entonces es inconsistente. Cuando un sistema es inconsistente, no puede existir ninguna solución. Cuando es consistente, o bien existe una solución única, o bien existen infinitas soluciones.

Si se reduce correctamente a la forma escalonada reducida, se debería obtener la matriz:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &\mid 2\\ 0 & 1 & 0 & \mid 1 \\ 0 & 0 & 1 & \mid -1 \end{pmatrix}$$

Ahora bien, ¿qué se puede decir de la coherencia del sistema?

Answer 2

4. Examine la consistencia del siguiente sistema y resuelva si es consistente. $$3x + y +2z = 3,$$ $$2x – 3y – z = -3,$$ $$x + 2y + z = 4$$