¿Puede algún triple de probabilidad dar lugar a cualquier distribución de probabilidad?

Question

Supongamos que tenemos una probabilidad triple $(\Omega,\mathcal{F},P)$ y la variable aleatoria $X:\Omega\to(\mathbb{R},\mathcal{B})$ con $\mathcal{B}$ denotando el Borel $\sigma$ -Álgebra. Entonces, la función de distribución de $X$ puede definirse como $$ F(x)=P(\{w\in\Omega:X(w)\leq x\})\tag{$ * $}. $$ Claramente, la RHS de ( $*$ ) depende de $\Omega$ , $P$ y la función $X$ mientras que el LHS no tiene que compartir tal dependencia. Por ejemplo, podemos definir el LHS como la CDF normal $F(x)=\int_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-s^2/2)ds$ . Así que tengo dos preguntas relacionadas:

1. Dado $(\Omega,\mathcal{F},P)$ ¿Cómo podemos saber entonces todas las posibles $F(\cdot)$ que pueden ser inducidos por variables aleatorias adecuadamente definidas, es decir, funciones medibles de $(\Omega,\mathcal{F})$ a $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ ?
2. ¿Hay alguna $(\Omega,\mathcal{F},P)$ tal que para cualquier CDF $F(\cdot)$ hay alguna variable aleatoria $X:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B})$ tal que la distribución de $X$ es $F$ ?

Si las preguntas no son claras, estaré encantado de editarlas/aclararlas. También le agradecería que incluyera algunas referencias en sus respuestas. Gracias.

Answer 1

Importa cuál es su definición de una medida de probabilidad, pero aquí hay un comienzo y aborda la situación en la que $\Omega$ es un subconjunto de los reales. Para la primera pregunta. Existe una equivalencia entre los FCD y las medidas de probabilidad sobre el espacio. Como se sugirió daré esa correspondencia: $$\mu([-\infty, x]) = F(x)$$ Entonces $\mu$ puede ampliarse completamente a una medida a través del Teorema de la extensión de Caratheodory .

Dada una medida de probabilidad $\mu$ puede recurrir a la Teorema de descomposición de Lebesgue para mostrar que tiene dos componentes wrt a $P$ . La primera es una medida absolutamente continua en relación con $P$ . El segundo es singular. Eso significa que se puede escribir la primera en términos de su derivada de Radon-Nikodym wrt $P$ y la integral de esa función es parte de la $F(x)$ . Sin embargo, la cuestión es que puede haber una parte singular. Para introducir "funciones" que las representen tendrás que ampliar tu conjunto de distribuciones para incluir las de la masa de dirac. Véase el Teorema de Radon Nikodym para más detalles.

Para la segunda pregunta. Se puede definir la medida a través de su derivada de Radon-Nikodym respecto a la medida de Lebesgue $P$ al establecer $\frac{d\mu}{dP} = \frac{d}{dx} F(x)$ donde tienes que generalizar tu de derivada para permitir la derivada en puntos donde $F$ es discontinua para dar lugar a las masas de dirac cuando se toma la derivada (es decir, se necesita la derivada distributiva). Un ejemplo sencillo de esto, digamos $F(x)$ es 0 para $x<0$ et $1$ pour $x>=0$ . Entonces la derivada de Radon-Nikodym es una masa dirac en $0$ .

Esencialmente entonces para tal $\Omega$ las funciones permitidas $F$ son aquellos que son medibles, no decrecientes, son $0$ fuera en $-\infty$ et $1$ en $\infty$ .

Answer 2

El "espacio de probabilidad universal" en el sentido de su segunda pregunta es $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$ donde $m$ es la medida de Lebesgue. El procedimiento para realizar la identificación es el que se utiliza habitualmente para el muestreo numérico de una variable aleatoria dada su FCD. En concreto, elegimos uniformemente $p \in [0,1]$ , entonces elige el más pequeño $x$ tal que $F(x) \geq p$ . Este mapeo de $p$ a $x$ es una función bien definida de $p$ Lo llamaré $F^+$ . (En general $F$ no es biyectiva, por lo que no debería llamarla $F^{-1}$ .) El resultado es una variable aleatoria, porque $F^+$ es una función no decreciente y, por tanto, medible por Borel.